已知抛物线y=-x22与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.(1)求直线l的方程;(2)求△AOB的面积.
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已知抛物线y=-x22与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.(1)求直线l的方程;(2)求△AOB的面积.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线y=-
x
2
2
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.
(1)求直线l的方程;
(2)求△AOB的面积.
答案
(1)显然直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=kx-1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由
y=kx-1
y=-
x
2
2
得x
2
+2kx-2=0,
∴x
1
+x
2
=-2k,x
1
x
2
=-2.
∵
y
1
x
1
+
y
2
x
2
=1
,
∴
k
x
1
-1
x
1
+
k
x
2
-1
x
2
=2k-
x
1
+
x
2
x
1
x
2
=2k-
-2k
-2
=1
,解得k=1
所以直线l的方程为y=x-1.
(2)解法1:∵
|
x
1
-
x
2
|=
4
k
2
+8
=2
3
,|OM|=1.
∴
S
△AOB
=
1
2
|
x
1
-
x
2
||OM|=
3
.
解法2:∵
|AB|=
1+
K
2
|
x
1
-
x
2
|=
1+
K
2
4
k
2
+8
=2
6
.
h=
1
2
.
S
△AOB
=
1
2
|AB|•h=
3
.
举一反三
如图,已知抛物线C:y
2
=2px和⊙M:(x-4)
2
+y
2
=1,过抛物线C上一点H(x
0
,y
0
)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为
17
4
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB弦为直径的圆过坐标原点O,试探讨点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C
1
:y=x
2
-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线
C
2
:y=-
m(1-
x
2
)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦距为2,且过点
(
2
,
6
2
)
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k
1
,直线BP的斜率为k
2
,求证:k
1
k
2
为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,P是抛物线C:x
2
=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y
1
+
1
y
2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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