如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心
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如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知抛物线C:y
2
=2px和⊙M:(x-4)
2
+y
2
=1,过抛物线C上一点H(x
0
,y
0
)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为
17
4
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率.
答案
(1)∵点M(4,0)到抛物线准线的距离为
4+
p
2
=
17
4
,
∴p=
1
2
,即抛物线C的方程为y
2
=x.
(2)∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴k
HE
=-k
HF
,
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),
∴
y
H
-
y
1
x
H
-
x
1
=-
y
H
-
y
2
x
H
-
x
2
,
∴
y
H
-
y
1
y
2H
-
y
21
=-
y
H
-
y
2
y
2H
-
y
22
,
∴y
1
+y
2
=-2y
H
=-4.
k
EF
=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
y
2
-
y
1
y
22
-
y
21
=
1
y
1
+
y
2
=-
1
4
.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB弦为直径的圆过坐标原点O,试探讨点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C
1
:y=x
2
-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线
C
2
:y=-
m(1-
x
2
)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦距为2,且过点
(
2
,
6
2
)
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k
1
,直线BP的斜率为k
2
,求证:k
1
k
2
为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,P是抛物线C:x
2
=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y
1
+
1
y
2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知B(-1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;
(1)求椭圆方程;
(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y轴于点C,过C作斜率为k的直线l交椭圆于D,E两点,若
S
△CBD
S
△CAE
=
1
6
,求实数k的值.
题型:不详
难度:
|
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