已知B(-1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;(1)求椭圆方程;(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y
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已知B(-1,1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;(1)求椭圆方程;(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y
题型:不详
难度:
来源:
已知B(-1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;
(1)求椭圆方程;
(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y轴于点C,过C作斜率为k的直线l交椭圆于D,E两点,若
S
△CBD
S
△CAE
=
1
6
,求实数k的值.
答案
(1)由题意,2a=4,∴a=2,
∵B(-1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,
∴
1
4
+
1
b
2
=1
∴
b
2
=
4
3
∴椭圆方程为
x
2
4
+
3
y
2
4
=1
(2)由题意A(-2,0),B(-1,1),则AB的方程为y=x+2,
∴C(0,2),∴
|CB|
|CA|
=
1
2
∵
S
△CBD
S
△CAE
=
1
6
,∴
|CD|
|CE|
=
1
3
,
设D(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
),则x
2
=3x
1
,
若CD斜率不存在,方程为x=0,D(0,
2
3
),E(0,-
2
3
),
∴
|CD|
|CE|
=
3
-1
3
+1
≠
1
3
,
若CD斜率存在,设y=kx+2,代入椭圆方程,得到(3k
2
+1)x
2
+12kx+8=0
∴x
1
+x
2
=
-12k
3
k
2
+1
,x
1
x
2
=
8
3
k
2
+1
∵x
2
=3x
1
,
∴
k=±
2
6
3
.
举一反三
已知抛物线C
1
:y=x
2
,F为抛物线的焦点,椭圆C
2
:
x
2
2
+
y
2
a
2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF|=
3
4
,求实数a的值;
(2)设直线l:y=kx+1与抛物线C
1
交于A,B两个不同的点,l与椭圆C
2
交于P,Q两个不同点,AB中点为R,PQ中点为S,若O在以RS为直径的圆上,且k
2
>
1
2
,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,过点A(x
0
,0)(其中x
0
为常数,且x
0
>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);
(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点;
(2)若x
0
=1,M
1
,M
2
,M
3
为抛物线C上的三点,且△M
1
M
2
M
3
的重心为A,求线段M
2
M
3
所在直线的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y
2
=2x于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点.
(1)求x
1
x
2
与y
1
y
2
的值;
(2)求证:OA⊥OB.
题型:不详
难度:
|
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长方形ABCD,
AB=2
2
,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:
(2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程:
(3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程.
(Ⅱ)过点
S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C
1
于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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