已知抛物线C:y2=4x,过点A(x0,0)(其中x0为常数,且x0>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP
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已知抛物线C:y2=4x,过点A(x0,0)(其中x0为常数,且x0>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限); (1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点; (2)若x0=1,M1,M2,M3为抛物线C上的三点,且△M1M2M3的重心为A,求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围. |
答案
(1)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则D(x2,-y2),直线PD的方程为y-y1=(x-x1), 令y=0,x===, 设l:y=k(x-x0),代入抛物线方程,得到ky2-4y-4kx0=0,∴y1y2=-4x0 ∴x=x0,即B(x0,0)为定点; (2)A(1,0),设lM1M2:y=kx+m,M1(x1′,y1′),M2(x2′,y2′),M3(x3′,y3′),M2M3中点E(xE′,yE′), lM1M2:y=kx+m代入抛物线方程,可得k2x2+(2km-4)x+m2=0, ∴x1′+x2′=, ∴y1′+y2′=, ∴E(,), ∵2=,∴M1(3-,-), ∵M1在抛物线y2=4x上, ∴=4(3-) ∴3k2+2km=8, 又△>0得16-16km>0,∴km<1, ∴2km=8-3k2<2, ∴k2>2, ∴k>或k<-. |
举一反三
(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. (1)求x1x2与y1y2的值; (2)求证:OA⊥OB.
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长方形ABCD,AB=2,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程: (2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程: (3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
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已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线. (Ⅰ)求椭圆C1的方程. (Ⅱ)过点S(0,-)的动直线l交椭圆C1于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由. |
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围. |
已知双曲线C:x2-y2=1,l:y=kx+1 (1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. |
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