长方形ABCD,AB=22,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:(2)过点p(0

长方形ABCD,AB=22,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:(2)过点p(0

题型:不详难度:来源:
长方形ABCD,AB=2


2
,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:
(2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程:
(3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为(-


2
,0),(


2
,0),(


2
,1).
设椭圆的标准方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).
则2a=AC+BC,
即2a=


(2


2
)2+1
+1=4>2


2
,所以a=2.
所以b2=a2-c2=4-2=2.
所以椭圆的标准方程是
x2
4
+
y2
2
=1.
(2)设直线m的方程为y=kx+2,





y=kx+2
x2
4
+
y2
2
=1
,得(2k2+1)x2+8kx+4=0,
∵直线m与椭圆只有一个公共点,
∴△=64k2-16(k2+1)=0,解得k=±


3
3

∴直线m的方程为y=


3
3
x,或y=-


3
3
x.
(3)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2.





y=kx+2
x2+2y2=4
,得(1+2k2)x2+8kx+4=0.
因为M,N在椭圆上,
所以△=64k2-16(1+2k2)>0.
设M,N两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
则x1+x2=-
8k
1+2k2
,x1x2=
4
1+2k2

若以MN为直径的圆恰好过原点,则


OM


ON

所以x1x2+y1y2=0,
所以,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,
即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
所以,
4(1+k2)
1+2k2
-
16k2
1+2k2
+4=0,即
8-4k2
1+2k2
=0,
得k2=2,k=±


2

经验证,此时△=48>0.
所以直线l的方程为y=


2
x+2,或y=-


2
x+2.
即所求直线存在,其方程为y=


2
x+2,或y=-


2
x+2.
举一反三
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)过点S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C1于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为


2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线C:x2-y2=1,l:y=kx+1
(1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点P为抛物线y2=2x上的动点,则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆C:
x2
9
+
y2
4
=1
,斜率为k的直线l与椭圆相交于点M,N,点A是线段MN的中点,直线OA(O为坐标原点)的斜率是k′,那么kk′=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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