已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.(Ⅰ)求椭圆C1的方程.(Ⅱ)过点S(0
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已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.(Ⅰ)求椭圆C1的方程.(Ⅱ)过点S(0
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程.
(Ⅱ)过点
S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C
1
于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(I)由
y=x+b
y
2
=4x
得x
2
+(2b-4)x+b
2
=0
直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
所以△=0⇒b=1
e=
c
a
=
2
2
⇒a=
2
所以椭圆
C
1
:
x
2
2
+
y
2
=1
(5分)
(Ⅱ)当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为
x
2
+(y+
1
3
)
2
=(
4
3
)
2
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x
2
+y
2
=1
所以两圆的切点为点(0,1)(8分)
所求的点T为点(0,1),证明如下.
当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)
当直线l与x轴不垂直时,可设直线l为:
y=kx-
1
3
由
y=kx-
1
3
x
2
2
+
y
2
=1
得(18k
2
+9)x
2
-12kx-16=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则
x
1
+
x
2
=
12k
18
k
2
+9
x
1
x
2
=
-16
18
k
2
+9
TA
•
TB
=
x
1
x
2
-
4
3
(
x
1
+
x
2
)+
16
9
=(1+
k
2
)
-16
18
k
2
+9
-
4
3
×
12k
18
k
2
+9
+
16
9
=0
所以
TA
⊥
TB
,即以AB为直径的圆过点(0,1)
所以存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T(13分)
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为
2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:x
2
-y
2
=1,l:y=kx+1
(1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点P为抛物线y
2
=2x上的动点,则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
C:
x
2
9
+
y
2
4
=1
,斜率为k的直线l与椭圆相交于点M,N,点A是线段MN的中点,直线OA(O为坐标原点)的斜率是k′,那么kk′=______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴长是短轴长的两倍,且过点A(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M,N,求|MN|的值.
题型:不详
难度:
|
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