(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.(1)求x1x2与y1y2的值;(2)求
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(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.(1)求x1x2与y1y2的值;(2)求
题型:不详
难度:
来源:
(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y
2
=2x于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点.
(1)求x
1
x
2
与y
1
y
2
的值;
(2)求证:OA⊥OB.
答案
(1)设直线l的方程为:y=k(x-2)(k≠0),
由
y=k(x-2)
y
2
=2x
得k
2
x
2
-(4k
2
+2)x+4k
2
=0,k≠0,△>0,
则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
+2
k
2
,x
1
x
2
=
4
k
2
k
2
=4,
y
1
y
2
=k
2
(x
1
-2)(x
2
-2)=k
2
[x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)+4]=k
2
•[4-2×
4
k
2
+2
k
2
+4]=k
2
•(-
4
k
2
)=-4.
所以x
1
x
2
=4,y
1
y
2
=-4.
(2)由(1)知,x
1
x
2
=4,y
1
y
2
=-4,
所以
OA
•
OB
=(x
1
,y
1
)•(x
2
,y
2
)=x
1
x
2
+y
1
y
2
=4-4=0,
所以
OA
⊥
OB
,即OA⊥OB.
举一反三
长方形ABCD,
AB=2
2
,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:
(2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程:
(3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程.
(Ⅱ)过点
S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C
1
于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为
2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:x
2
-y
2
=1,l:y=kx+1
(1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点P为抛物线y
2
=2x上的动点,则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______.
题型:不详
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|
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