已知抛物线C1:y=x2,F为抛物线的焦点,椭圆C2:x22+y2a2=1(0<a<2);(1)若M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF|=34,求实数a的值

已知抛物线C1:y=x2,F为抛物线的焦点,椭圆C2:x22+y2a2=1(0<a<2);(1)若M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF|=34,求实数a的值

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C1:y=x2,F为抛物线的焦点,椭圆C2
x2
2
+
y2
a2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF|=
3
4
,求实数a的值;
(2)设直线l:y=kx+1与抛物线C1交于A,B两个不同的点,l与椭圆C2交于P,Q两个不同点,AB中点为R,PQ中点为S,若O在以RS为直径的圆上,且k2
1
2
,求实数a的取值范围.
答案
(1)设M(x,y),|MF|=y+
1
4
=
3
4
,y=
1
2
,x2=
1
2
,代入
x2
2
+
y2
a2
=1,
1
4
+
1
4
a2
=1,
∴a2=
1
3
,又0<a<2,∴a=


3
3

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点R(xR,yR),
y=kx+1,代入抛物线方程可得到x2-kx-1=0,
x1+x2=k,
y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2,∴R(
k
2
k2+2
2

设P(x3,y3),B(x4,y4),PQ中点S(xS,yS),
y=kx+1,代入椭圆方程可得到(2k2+a2)x2+4kx+2-2a2=0,
∴x3+x4=
-4k
2k2+a2
,y3+y4=k(x3+x4)+2=
2a2
2k2+a2

∴S(
-2k
2k2+a2
a2
2k2+a2
),
由条件知,


OS


OR
=0,∴
-2k2
2(2k2+a2)2
+
a2(k2+2)
2(2k2+a2)
=0,
∴-2k2+a2(k2+2)=0,
∴a2=2-
4
k2+2

k2
1
2
,∴k2+2>
5
2

4
k2+2
(0,
8
5
)

∴a2∈(
2
5
,2
),
又0<a<2,∴a∈(


10
5


2
)
,此时△>0恒成立
举一反三
已知抛物线C:y2=4x,过点A(x0,0)(其中x0为常数,且x0>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);
(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点;
(2)若x0=1,M1,M2,M3为抛物线C上的三点,且△M1M2M3的重心为A,求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围.
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(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求x1x2与y1y2的值;
(2)求证:OA⊥OB.
题型:不详难度:| 查看答案
长方形ABCD,AB=2


2
,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:
(2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程:
(3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)过点S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C1于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F(-1,0),离心率为


2
2
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
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