如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=-m(1-x2)(|x|<1)也相切于点N,记点M的
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如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=-m(1-x2)(|x|<1)也相切于点N,记点M的
题型:不详
难度:
来源:
如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C
1
:y=x
2
-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线
C
2
:y=-
m(1-
x
2
)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.
答案
(1)切线l:y-(t
2
-1)=2t(x-t),即y=2tx-t
2
-1,
代入
y=-
m(1-
x
2
)
,
化简并整理得(m+4t
2
)x
2
-4t(t
2
+1)x+(t
2
+1)
2
-m=0,(*)
由△=16t
2
(t
2
+1)
2
+4(m+4t
2
)[m-(t
2
+1)
2
]=4m[m-(t
2
-1)
2
]=0
得m=0或m=(t
2
-1)
2
.
若m=0,代入(*)式得
x
N
=
t
2
+1
2t
>1
,与已知|x
N
|<1矛盾;
若m=(t
2
-1)
2
,代入(*)式得
x
N
=
2t
t
2
+1
∈(0,1)
满足条件,
且
y
N
=2t
x
N
-
t
2
-1=-
(
t
2
-1)
2
t
2
+1
,
综上,m=(t
2
-1)
2
,点N的坐标为
(
2t
t
2
+1
,-
(
t
2
-1)
2
t
2
+1
)
.
(2)因为
k
AM
=
t
2
-1
t+1
=t-1
,
k
AN
=
-
(
t
2
-1)
2
t
2
+1
2t
t
2
+1
+1
=-(t-1
)
2
,
若∠MAB=∠NAB,则k
AM
=-k
AN
,即t=2,此时m=9,
故当实数m=9时,∠MAB=∠NAB.
此时k
AM
=1,k
AN
=-1,∠MAB=∠NAB=45°,
易得M(2,3),
N(
4
5
,-
9
5
)
,
此时MN所在直线的方程为y=4x-5.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦距为2,且过点
(
2
,
6
2
)
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k
1
,直线BP的斜率为k
2
,求证:k
1
k
2
为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,P是抛物线C:x
2
=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y
1
+
1
y
2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知B(-1,1)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;
(1)求椭圆方程;
(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y轴于点C,过C作斜率为k的直线l交椭圆于D,E两点,若
S
△CBD
S
△CAE
=
1
6
,求实数k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C
1
:y=x
2
,F为抛物线的焦点,椭圆C
2
:
x
2
2
+
y
2
a
2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF|=
3
4
,求实数a的值;
(2)设直线l:y=kx+1与抛物线C
1
交于A,B两个不同的点,l与椭圆C
2
交于P,Q两个不同点,AB中点为R,PQ中点为S,若O在以RS为直径的圆上,且k
2
>
1
2
,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,过点A(x
0
,0)(其中x
0
为常数,且x
0
>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);
(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点;
(2)若x
0
=1,M
1
,M
2
,M
3
为抛物线C上的三点,且△M
1
M
2
M
3
的重心为A,求线段M
2
M
3
所在直线的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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