如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).(1)若l经过点F,求弦长|

如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).(1)若l经过点F,求弦长|

题型:不详难度:来源:
如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
答案
(1)∵F为抛物线的焦点,∴F(0,
1
2
)

设直线l:y=kx+
1
2

联立





y=kx+
1
2
x2=2y
,得x2-2kx-1=0(﹡)
则|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+
1
2
)+(y2+
1
2
)=y1+y2+1=k(x1+x2)+2

由(﹡)得x1+x2=2k,带入上式得|PQ|=2k2+2≥2,当仅当k=0时|PQ|的最小值为2;
(2)证明:如图,
①分别过P,Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥x轴,垂足分别为P′,Q′,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|P/P|
+
|OT|
|Q/Q|
=
|b|
|y1|
+
|b|
|y
2
|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②联立





y=kx+b
y=
1
2
x2
,消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0(﹟)
y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2
(方法1)
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)≥2|b|


1
y1
y2
=2|b|


1
b2
=2

而y1,y2可取一切不相等的正数∴
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围为(2,+∞).
(方法2)
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)=|b|
y1+y2
y1y2
=|b|
2(k2+b)
b2

当b>0时,上式=
2k2
b
+2>2

当b<0时,上式=
2(k2+b)
-b

由(﹟)式△>0得k2+2b>0即k2>-2b
于是
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
2(-2b+b)
-b
=2

综上,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围为(2,+∞).
举一反三
已知B(-1,1)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;
(1)求椭圆方程;
(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y轴于点C,过C作斜率为k的直线l交椭圆于D,E两点,若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
,求实数k的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线C1:y=x2,F为抛物线的焦点,椭圆C2
x2
2
+
y2
a2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF|=
3
4
,求实数a的值;
(2)设直线l:y=kx+1与抛物线C1交于A,B两个不同的点,l与椭圆C2交于P,Q两个不同点,AB中点为R,PQ中点为S,若O在以RS为直径的圆上,且k2
1
2
,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线C:y2=4x,过点A(x0,0)(其中x0为常数,且x0>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);
(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点;
(2)若x0=1,M1,M2,M3为抛物线C上的三点,且△M1M2M3的重心为A,求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
(文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)求x1x2与y1y2的值;
(2)求证:OA⊥OB.
题型:不详难度:| 查看答案
长方形ABCD,AB=2


2
,BC=1,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程:
(2)过点p(0,2)的直线m与(1)中椭圆只有一个公共点,求直线m的方程:
(3)过点p(0,2)的直线l交(1)中椭圆与M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.