设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=12(1)求椭圆C的方程.(2)已知A为椭圆C的左

设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=12(1)求椭圆C的方程.(2)已知A为椭圆C的左

题型:不详难度:来源:
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程.
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=-
1
2
,求直线l的方程.
答案
(1)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),且离心率e=
1
2
,∴





e=
c
a
=
1
2
1
a2
+
9
4b2
=1
a2=b2+c2
,解得





a=2c=2
b2=3
,∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由(1)可得:左顶点A(-2,0),右焦点(1,0).
由题意可知直线l不存在时不满足条件,可设直线l的方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).
联立





y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,化为(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由题意可得△>0.
x1+x2=
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2

k1+k2=-
1
2
,∴
y1
x1+2
+
y2
x2+2
=-
1
2

化为2k(x1-1)(x2+2)+2k(x2-1)(x1+2)+(x1+2)(x2+2)=0,
整理为(4k+1)x1x2+(2k+2)(x1+x2)+4-8k=0.
代入得
(4k+1)(4k2-12)
3+4k2
+
8k2(2k+2)
3+4k2
+4-8k=0,
整理为k2-2k=0,解得k=0或2.
k=0不满足题意,应舍去.
故k=2,此时直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
1
2
,一条准线方程为x=4.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M,设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值.
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过椭圆左焦点F,倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A,B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为______.
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已知抛物线y=-
x2
2
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.
(1)求直线l的方程;
(2)求△AOB的面积.
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如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为
17
4

(1)求抛物线C的方程;
(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为


3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB弦为直径的圆过坐标原点O,试探讨点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
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