设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=12(1)求椭圆C的方程.(2)已知A为椭圆C的左
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,且离心率e=12(1)求椭圆C的方程.(2)已知A为椭圆C的左
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),F
1
,F
2
分别为椭圆C的左右焦点,且离心率
e=
1
2
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F
2
与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k
1
,k
2
满足
k
1
+
k
2
=-
1
2
,求直线l的方程.
答案
(1)∵椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点(1,
3
2
),且离心率
e=
1
2
,∴
e=
c
a
=
1
2
1
a
2
+
9
4
b
2
=1
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
a=2c=2
b
2
=3
,∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(2)由(1)可得:左顶点A(-2,0),右焦点(1,0).
由题意可知直线l不存在时不满足条件,可设直线l的方程为y=k(x-1),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).
联立
y=k(x-1)
x
2
4
+
y
2
3
=1
,化为(3+4k
2
)x
2
-8k
2
x+4k
2
-12=0.由题意可得△>0.
∴
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
k
2
-12
3+4
k
2
.
∵
k
1
+
k
2
=-
1
2
,∴
y
1
x
1
+2
+
y
2
x
2
+2
=-
1
2
,
化为2k(x
1
-1)(x
2
+2)+2k(x
2
-1)(x
1
+2)+(x
1
+2)(x
2
+2)=0,
整理为(4k+1)x
1
x
2
+(2k+2)(x
1
+x
2
)+4-8k=0.
代入得
(4k+1)(4
k
2
-12)
3+4
k
2
+
8
k
2
(2k+2)
3+4
k
2
+4-8k=0,
整理为k
2
-2k=0,解得k=0或2.
k=0不满足题意,应舍去.
故k=2,此时直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
1
2
,一条准线方程为x=4.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M,设直线OM的斜率为k
1
,直线BP的斜率为k
2
,求证:k
1
k
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
过椭圆左焦点F,倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A,B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=-
x
2
2
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为原点.若OA和OB的斜率之和为1.
(1)求直线l的方程;
(2)求△AOB的面积.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线C:y
2
=2px和⊙M:(x-4)
2
+y
2
=1,过抛物线C上一点H(x
0
,y
0
)作两条直线与⊙M相切于A、B两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为
17
4
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB弦为直径的圆过坐标原点O,试探讨点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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