过椭圆左焦点F，倾斜角为π3的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．

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过椭圆左焦点F，倾斜角为

的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．

答案

设准线与x轴交点为M，过A、B作准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2|FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=

|AB|=

t，
根据椭圆第二定义，可得|AH|=|AD|-|BC|=

，
∴

∴e=

，
故答案为：

．

举一反三

已知抛物线y=-

与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．
（1）求直线l的方程；
（2）求△AOB的面积．

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如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，短轴一个端点到右焦点的距离为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

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如图，A（-1，0），B（1，0），过曲线C₁：y=x²-1（|x|≥1）上一点M的切线l，与曲线C2：y=-

m(1-x2)

(|x|＜1)也相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求此时MN所在直线的方程．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(

，

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

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