双曲线E的渐近线方程为y=±43x,且经过点(23,433)(1)求双曲线E的方程;(2)F1,F2为双曲线E的两个焦点,P为双曲线上一点,若|PF1|•|PF

双曲线E的渐近线方程为y=±43x,且经过点(23,433)(1)求双曲线E的方程;(2)F1,F2为双曲线E的两个焦点,P为双曲线上一点,若|PF1|•|PF

题型:不详难度:来源:
双曲线E的渐近线方程为y=±
4
3
x
,且经过点(2


3
4


3
3
)

(1)求双曲线E的方程;
(2)F1,F2为双曲线E的两个焦点,P为双曲线上一点,若|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
答案
(1)设双曲线方程为
x2
9
-
y2
16
(λ≠0),
代入点(2


3
4


3
3
)
,可得
12
9
-
3
9

∴λ=1,
∴双曲线E的方程为
x2
9
-
y2
16
=1

(2)由
x2
9
-
y2
16
=1
得c2=25,
∴4c2=100
设|PF1|=d1,|PF2|=d2,则|d1-d2|=6…①
由已知条件:d1•d2=32…②
由①、②得,d12+d22=100
在△F1PF2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2=
d12+d22-4c2
2d1d2
=0
∴∠F1PF2=90°
举一反三
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过右焦点F且斜率为


2
的直线l交椭圆E于两点A,B,若以原点为圆心,


6
3
为半径的圆与直线l相切
(1)求焦点F的坐标;
(2)以OA,OB为邻边的平行四边形OACB中,顶点C也在椭圆E上,求椭圆E的方程.
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过点(0,1)引直线与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线共有(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右顶点分别为A(-


2
,0)、B(


2
,0),离心率e=


2
2
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|PC|=(


2
-1)|PQ|.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且|MN|=
8


2
7
,求直线MN的方程.
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为
2


3
3
,且过点P(


6
,1).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+


2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且


OA


OB
>2(O为坐标原点),求实数k的取值范围.
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
,O为坐标原点,离心率e=2,点M(


5


3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且


OP


OQ
=0
.问:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由.
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