已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=25x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点(1,3),又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点.(1)求双
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已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=25x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点(1,3),又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点.(1)求双
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C的中心在原点,抛物线
y
2
=2
5
x
的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线经过点
(1,
3
)
,又知直线l:y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若
OA
⊥
OB
,求实数k值.
答案
(1)抛物线的焦点是(
5
2
,0
),则双曲线的
c=
5
2
.…(1分)
设双曲线方程:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1,则有
1
a
2
-
3
b
2
=1
…(2分)
解得:
a
2
=
1
4
,
b
2
=1⇒方程为:4
x
2
-
y
2
=1
…(5分)
(2)联立方程:
y=kx+1
4
x
2
-
y
2
=1
⇒(4-
k
2
)
x
2
-2kx-2=0
当
△>0时,得-2
2
<k<2
2
(且k≠±2)
…(7分)(未写△扣1分)
由韦达定理:
x
1
+
x
2
=
2k
4-
k
2
,
x
1
x
2
=
-2
4-
k
2
…(8分)
设
A(
x
1
,
y
1
),B(
x
1
+
x
2
),由
OA
⊥
OB
,
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0
即(1+k
2
)x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1=0代入可得:
k
2
=2,k=±
2
,检验合格.…(12分)
举一反三
已知椭圆C经过点A(0,2),B(
1
2
,
3
).
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)设P(x
0
,y
0
)为椭圆C上的动点,求x
2
0
+2y
0
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的方程为5x
2
-4y
2
=20两个焦点为F
1
,F
2
.
(1)求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程;
(2)若椭圆与此双曲线有共同的焦点,且有一公共点P满足|PF
1
|•|PF
2
|=6,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,F
1
,F
2
分别是椭圆的左、右焦点,过点F
2
与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,则△ABF
1
的周长为4
2
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C(
1
3
,0),使得|AC|=|BC|,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的方程为:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,其中a
2
=4c,直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P,F是椭圆的右焦点,试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.
题型:不详
难度:
|
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