已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,则△ABF1的周长

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,则△ABF1的周长

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


2
2
,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,则△ABF1的周长为4


2

(1)求椭圆的方程;
(2)若C(
1
3
,0),使得|AC|=|BC|,求直线l的方程.
答案
(1)∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


2
2

F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,
过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,△ABF1的周长为4


2






c
a
=


2
2
4a=4


2
,∴a=


2
,c=1,∴b=1,
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(2)∵过点F2(1,0)与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点,
∴设直线AB的方程为x=ny+1,
联立





x=ny+1
x2
2
+y2=1
,得(2+n2)y2+2ny-1=0,
△=4n2+4(2+n2)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
-2n
2+n2
,y1y2=
-1
2+n2

∴x1+x2=n(y1+y2)+2=
-2n2
2+n2
+2

∵C(
1
3
,0)使得|AC|=|BC|,


(x1-
1
3
)2+y12
=


(x2-
1
3
)2+y22

x12-
2
3
x1+y12=x22-
2
3
x2+y22

整理,得(x1+x2-
2
3
)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴k=
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2-
2
3
-(y1+y2)
=
-2n2
2+n2
+2-
2
3
2n
2+n2
=
4
3n
-
n
3

∵k=
1
n
,∴
1
n
=
4
3n
-
n
3
,解得n=±1,
∴直线l的方程为x=y+1或x=-y+1,
即直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
举一反三
已知椭圆的方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其中a2=4c,直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P,F是椭圆的右焦点,试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点O,左顶点A(-2,0),离心率e=
1
2
,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点(不同于点A).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△APQ的面积S=
18


2
7
时,求直线PQ的方程;
(Ⅲ)求


OP


FP
的范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点M(0,b),△MF1F2为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求


OA


OB
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是(
1


3
,0)
;又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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