如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.(1)求p

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.(1)求p

题型:不详难度:来源:
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.
答案
(1)有抛物线的定义可知点T(2,t),(t>0)到抛物线的准线的距离为3,
即有2+
p
2
=3
可得P=2,将T(2,t)代入y2=4x
得t=2


2

(2)∵F(1,0),故设直线AB的方程为:x=my+1(m<0),
联立抛物线方程y2=4x,消元可得:y2-4my-4=0,
令A(x1,y1),B(x2,y2),
则由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m•m+4=4(m2+1).
∵CD⊥AB,∴CD直线的方程为:x=-
1
m
y+1

同理|CD|=4[(-
1
m
2+1]
从而S四边形ABCD=
1
2
|AB||CD|=
1
2
•16•(m2+1)(
1
m2
+1)

=8(2+m2+
1
m2
)
≥8(2+2


m2
1
m2
)

=32.(当m=-1时取等号).
因此四边形ABCD的面积的最小值为32,此时直线AB的斜率为-1.
举一反三
已知椭圆C的中心在坐标原点O,左顶点A(-2,0),离心率e=
1
2
,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点(不同于点A).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△APQ的面积S=
18


2
7
时,求直线PQ的方程;
(Ⅲ)求


OP


FP
的范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点M(0,b),△MF1F2为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求


OA


OB
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是(
1


3
,0)
;又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知三角形△ABC的两顶点为B(-2,0),C(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知椭圆C:x2+
y2
a2
=1(a>1)
的离心率为e,点F为其下焦点,点O为坐标原点,过F的直线l:y=mx-c(其中c=


a2-1
)与椭圆C相交于P,Q两点,且满足:


OP


OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2

(Ⅰ)试用a表示m2
(Ⅱ)求e的最大值;
(Ⅲ)若e∈(
1
3
1
2
)
,求m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.