已知椭圆C的焦点在x轴上,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=23.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求点R(0,1)与椭
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已知椭圆C的焦点在x轴上,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=23.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求点R(0,1)与椭
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已知椭圆C的焦点在x轴上,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且
cos∠OFA=
2
3
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求点R(0,1)与椭圆C上的点N之间的最大距离;
(Ⅲ)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点P(-3,0),交y轴于点M.若
MQ
=2
QP
,求直线l的斜率.
答案
(Ⅰ)由题意知,点A是椭圆C短轴的端点.
设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,半焦距为c(c>0)
在Rt△OFA中,
cos∠OFA=
2
3
,
∵a=3,∴c=2,
∴b
2
=5
∴椭圆C的方程为
x
2
9
+
y
2
5
=1
…(4分)
(Ⅱ)设N(x
0
,y
0
),
∵N在椭圆上,∴
x
0
2
9
+
y
0
2
5
=1
,
∴
x
0
2
=9-
9
5
y
0
2
,
∴
|RN
|
2
=
x
0
2
+(
y
0
-1
)
2
=
-
4
5
y
0
2
-2
y
0
+10
…(8分)
∵
y
0
∈[-
5
,
5
]
∴当
y
0
=-
5
4
时,
|RN
|
max
=
3
5
2
.…(9分)
(Ⅲ)根据题意设直线l的方程为y=k(x+3),点M(0,3k)
设
Q(
x
1
,
y
1
),由于
MQ
=2
QP
∴(x
1
,y
1
-3k)=2(-3-x
1
,-y
1
)
解得:x
1
=-2,y
1
=k…(12分)
又Q在椭圆上,得
(-2)
2
9
+
k
2
5
=1
,解得:
k=±
5
3
…(14分)
举一反三
已知点M是曲线C上任一点,点M到点F(1,0)的距离比到y轴的距离多1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线L交曲线C于A、B两点,若以AB为直径的圆经过原点O,求直线L的方程.
题型:不详
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|
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(1)已知△ABC的顶点A(0,-1),B(0,1),直线AC,直线BC的斜率之积等于m(m
0
),求顶点C的轨迹方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线.
(2)已知圆M的方程为:(x+1)
2
+y
2
=(2a)
2
(a>0,且a1),定点N(1,0),动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q,求点Q轨迹方程.
题型:不详
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|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
3
2
,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为α、β,则
cos(α-β)
cos(α+β)
=______.
题型:不详
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F
1
,F
2
,p是椭圆上一点,且在x轴上方,PF
2
⊥F
1
F
2
,PF
2
=λPF
1
,λ∈[
1
3
,
1
2
].
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)当e取最大值时,过F
1
,F
2
,P的圆Q的截y轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线,切点分别为M,N.试探究直线MN是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
题型:不详
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如果椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1
的弦AB被点M(x
0
,y
0
)平分,设直线AB的斜率为k
1
,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k
2
,则k
1
•k
2
=( )
A.4
B.
1
4
C.-1
D.
-
1
4
题型:不详
难度:
|
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