已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径
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已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过原点O，求直线L的方程． |
答案
（1）∵点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，
∴点M到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为：y2=4x．
（2）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去x得：ky2-4y+8=0，
则△=16-32k＞0，解得k＜，
∴y1y2=，x1x2=•=，
∴以AB为直径的圆过原点O，
∴•=x1x2+y1y2=0，
∴+=0，解得k=-，
∴直线l的方程为y=-x+2． |
举一反三
（1）已知△ABC的顶点A（0，-1），B（0，1），直线AC，直线BC的斜率之积等于m（m0），求顶点C的轨迹方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线．
（2）已知圆M的方程为：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定点N（1，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q，求点Q轨迹方程． |
| 已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率e=，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=______． |
已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F1，F2，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[，]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
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| 如果椭圆+=1的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（ ） |
已知椭圆E：+=1(a＞b＞0)的左焦点F1的坐标为（-1，0），已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为的直线交椭圆于C、D，求△CDF1的面积；
（Ⅲ）设点P（4，t）（t≠0），A、B分别是椭圆的左、右顶点，若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N，求证∠MBP为锐角． |
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