在平面直角坐标系中,已知a=(2mx,y-1),b=(2x,y+1),其中m∈R,a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程,并说明该轨迹方程所表
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在平面直角坐标系中,已知a=(2mx,y-1),b=(2x,y+1),其中m∈R,a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程,并说明该轨迹方程所表
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系中,已知
a
=(2mx,y-1),
b
=(2x,y+1)
,其中m∈R,
a
⊥
b
,动点M(x,y)的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程,并说明该轨迹方程所表示曲线的形状;
(2)当
m=
1
8
时,设过定点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(1)因为
a
⊥
b
,
a
=(2mx,y-1),
b
=(2x,y+1)
所以
a
•
b
=4m
x
2
+
y
2
-1=0
,即4mx
2
+y
2
=1..(2分)
当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;
当
m=
1
4
时,方程表示的是圆
当m>0且
m≠
1
4
时,方程表示的是椭圆;
当m<0时,方程表示的是双曲线.…..(6分)
(2)当
m=
1
8
时,轨迹C的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
,
显然直线l的斜率是存在的,可设直线l:y=kx+2,A(x
1
,y
2
),B(x
2
,y
2
),…..(7分)
联立
y=kx+2
x
2
2
+
y
2
=1
,消去y,整理得:(2k
2
+1)x
2
+8kx+6=0
∴
x
1
+
x
2
=-
8k
2
k
2
+1
,
x
1
•
x
2
=
6
2
k
2
+1
…..(9分)
由△=(8k)
2
-4(2k
2
+1)×6>0,即2k
2
-3>0得:
k<-
6
2
或
k>
6
2
①…..(10分)
又
y
1
y
2
=(k
x
1
+2)(k
x
2
+2)=
k
2
x
1
x
2
+2k(
x
1
+
x
2
)+4
=
6
k
2
2
k
2
+1
-
16
k
2
2
k
2
+1
+4=
4-2
k
2
2
k
2
+1
…..(11分)
∵∠AOB为锐角,
∴cos∠AOB>0,
∴
OA
•
OB
>0,
∴
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
6
2
k
2
+1
+
4-2
k
2
2
k
2
+1
=
10-2
k
2
2
k
2
+1
>0
即k
2
-5<0,
∴
-
5
<k<
5
…..(13分)
故由①、②得
-
5
<k<-
6
2
或
6
2
<k<
5
…..(14分)
举一反三
设双曲线C的焦点在y轴上,离心率为
2
,其一个顶点的坐标是(0,1).
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l与该双曲线交于A、B两点,且A、B的中点为(2,3),求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C上的动点P到点(1,0)的距离与到定直线L:x=-1的距离相等,
(1)求曲线C的方程;
(2)直线m过(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线m与曲线C只有一个公共点,有两个公共点;没有公共点?
题型:不详
难度:
|
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从圆O:x
2
+y
2
=4上任意一点P向x轴作垂线,垂足为P′,点M是线段PP′的中点,则点M的轨迹方程是( )
A.
9
x
2
16
+
y
2
4
=1
B.
9
y
2
16
+
x
2
4
=1
C.
x
2
+
y
2
4
=1
D.
x
2
4
+
y
2
=1
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的焦点在x轴上,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且
cos∠OFA=
2
3
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求点R(0,1)与椭圆C上的点N之间的最大距离;
(Ⅲ)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点P(-3,0),交y轴于点M.若
MQ
=2
QP
,求直线l的斜率.
题型:不详
难度:
|
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已知点M是曲线C上任一点,点M到点F(1,0)的距离比到y轴的距离多1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线L交曲线C于A、B两点,若以AB为直径的圆经过原点O,求直线L的方程.
题型:不详
难度:
|
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