已知平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F且斜率为22的直线交轨迹C于A(x1,y1),B(x2

已知平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F且斜率为22的直线交轨迹C于A(x1,y1),B(x2

题型:不详难度:来源:
已知平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为2


2
的直线交轨迹C于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,P(x3,y3)(x3≥0)为轨迹C上一点,若


OP
=


OA


OB
,求λ的值.
答案
(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),
∵平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,


(x-2)2+y2
=|x|+2,
当x≥0时,整理,得y2=8x,
当x<0时,整理,得y2=0,
∴动点P的轨迹方程为y2=8x,x≥0,或y=0,x<0.
(Ⅱ)∵过点F且斜率为2


2
的直线:y=2


2
(x-2),
该直线轨迹C于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,





y=2


2
(x-2)
y2=8x
,整理,得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,∴A(1,-2


2
),B(4,4


2
),
∵P(x3,y3)(x3≥0)为轨迹C上一点,
∴P(x3,2


2x3
),


OP
=


OA


OB

∴(x3,2


2x3
)=(1,-2


2
)+(4λ,4


2
λ
)=(1+4λ,-2


2
+4


2
λ
),





x3=1+4λ
2


2x3
=-2


2
+4


2
λ

整理,得


1+4λ
=-1+2λ,
解得λ=0(舍),或λ=2,
∴λ=2.
举一反三
如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=


5
5
,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2的周长为4


5

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.
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如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△ABP的面积最大,并求这个最大面积.
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已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,顶点为O,准线为l,过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA1⊥l于点A1,以线段AF,AA1为邻边作平行四边形AFCA1,连接直线AC交l于点D,延长AF交抛物线于另一点B.若△AOB的面积为S△AOB,△ABD的面积为S△ABD,则
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值为______.
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已知一条曲线C在y轴右侧,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l交曲线C于A,B两点,线段AB的中点为D(2,-1),求直线l的一般式方程.
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如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是


2
2
,A1,A2分别是椭圆C的左、右两个顶点,点F是椭圆C的右焦点.点D是x轴上位于A2右侧的一点,且满足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2

(1)求椭圆C的方程以及点D的坐标;
(2)过点D作x轴的垂线n,再作直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P,直线l交直线n于点Q.求证:以线段PQ为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
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