如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

题型：不详难度：来源：

如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y²=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

答案

由

y=2x-4

y2=4x

得：4x²-20x+16=0，即x²-5x+4=0，
所以A（4，4）、B（1，-2）．
故|AB|=3

．…（4分）
设点P（t²，2t）（-1＜t＜2），则P到直线l的距离为：d=

|2t2-2t-4|

|2(t+1)(t-2)|

，
所以S△ABP=

•|AB|•d=3|(t+1)(t-2)|．
故当t=

，即点P(

，1)时，△ABP的面积最大为

．…（12分）

举一反三

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，顶点为O，准线为l，过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA₁⊥l于点A₁，以线段AF，AA₁为邻边作平行四边形AFCA₁，连接直线AC交l于点D，延长AF交抛物线于另一点B．若△AOB的面积为S_△AOB，△ABD的面积为S_△ABD，则

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值为______．

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已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D（2，-1），求直线l的一般式方程．

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如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率是

，A₁，A₂分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A₂右侧的一点，且满足

|A1D|

|A2D|

|FD|

=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

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曲线y=x²上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是（　　）

A．

B．

C．

D．

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设P（x₀，y₀）是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求

y1+y2

的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

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