已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
2
,两个焦点分别为F
1
和F
2
,椭圆C上一点到F
1
和F
2
的距离之和为12.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点B是椭圆C的上顶点,点P,Q是椭圆上;异于点B的两点,且PB⊥QB,求证直线PQ经过y轴上一定点.
答案
(Ⅰ)设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的半焦距为c,
则∵椭圆C上一点到F
1
和F
2
的距离之和为12,离心率为
3
2
,
∴
2a=12
c
a
=
3
2
,解得
a=6
c=3
3
,
∴b
2
=a
2
-c
2
=9.
∴所求椭圆C的方程为:
x
2
36
+
y
2
9
=1
.…(4分)
(Ⅱ)显然直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+b
联立方程组
y=kx+b
x
2
36
+
y
2
9
=1
,消去y整理得(1+4k
2
)x
2
+8kbx+4b
2
-36=0.
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
8kb
4
k
2
+1
,x
1
x
2
=
4
b
2
-36
4
k
2
+1
.
∴y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
)+2b=
2b
4
k
2
+1
,y
1
y
2
=
b
2
-36
k
2
4
k
2
+1
…(8分)
∵PB⊥QB,且
BP
=(x
1
,y
1
-3),
BQ
=(x
2
,y
2
-3),
∴
BP
•
BQ
=x
1
x
2
+(y
1
-3)(y
2
-3)=0,
∴
4
b
2
-36
4
k
2
+1
+
b
2
-36
k
2
4
k
2
+1
-3•
2b
4
k
2
+1
+9=0
∴5b
2
-6b-27=0.
解得b=-
9
5
或b=3(舍去)
∴直线PQ经过y轴上一定点(0,-
9
5
).…(12分)
举一反三
已知平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为2
2
的直线交轨迹C于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
)两点,P(x
3
,y
3
)(x
3
≥0)为轨迹C上一点,若
OP
=
OA
+λ
OB
,求λ的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率e=
5
5
,过F
1
的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF
2
的周长为4
5
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y
2
=4x于A、B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△ABP的面积最大,并求这个最大面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点为F,顶点为O,准线为l,过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA
1
⊥l于点A
1
,以线段AF,AA
1
为邻边作平行四边形AFCA
1
,连接直线AC交l于点D,延长AF交抛物线于另一点B.若△AOB的面积为S
△AOB
,△ABD的面积为S
△ABD
,则
(
S
△AOB
)
2
S
△ABD
的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知一条曲线C在y轴右侧,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l交曲线C于A,B两点,线段AB的中点为D(2,-1),求直线l的一般式方程.
题型:不详
难度:
|
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