某圆锥曲线有下列信息:①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴;②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1;③曲线与坐标轴的交点不是两个;④曲线过点A(1,32)

某圆锥曲线有下列信息:①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴;②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1;③曲线与坐标轴的交点不是两个;④曲线过点A(1,32)

题型:不详难度:来源:
某圆锥曲线有下列信息:
①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴;
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1;
③曲线与坐标轴的交点不是两个;
④曲线过点A(1,
3
2
).
(1)判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程;
(2)点F是改圆锥曲线的焦点,点F′是F关于坐标原点O的对称点,点P为曲线上的动点,探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围.
答案
(1)∵该曲线与坐标轴至少有3个交点,
∴该曲线为焦点在x轴上的椭圆,
且2c=2,c=1,(2分)
F1、F2分别是该圆锥曲线的左、右焦点,
|AF1|+|AF2|=


22+
9
4
+


02+
9
4
=4

所以2a=4,a=2,b2=4-1=3,(5分)
∴所求圆锥曲线的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1
.(6分)
(2)设P(x0,y0),
则满足
x02
4
+
y02
3
=1

y02=3-
3x02
4
,(-2≤x0≤2),
|PF|2=(x0-1)2+3-
3x02
4
=
x02
4
-2x0+4
,(7分)
由-2≤x0≤2,
得到|PF|2=(x0-1)2+3-
3x02
4

=
x02
4
-2x0+4
∈[1,9],
|PF|∈[1,3],9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•(4-|PF|)=4|PF|-|PF′|2
由|PF|∈[1,3],
知|PF|•|PF′|∈[3,4],
∴|PF|的取值范围是[1,3],|PF|•|PF′|的取值范围是[3,4].(13分)
举一反三
点P(4,4),圆C:(x-1)2+y2=5与椭圆E:
x2
18
+
y2
2
=1
有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆左、右焦点,直线PF1与圆C相切.设Q为椭圆E上的一个动点,求


AP


AQ
的取值范围.
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如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为


3
:1
,试求所有满足条件的点P的坐标.
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过点M(2,0)的直线l与抛物线y2=x交于A,B两点,则


OA


OB
的值为(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上点M的横坐标为2,且|MF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点,求四边形MPNQ面积的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,


2
)
,且长轴长与短轴长的比为


2
:1

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.
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