抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上点M的横坐标为2,且|MF|=3.(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线
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抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上点M的横坐标为2,且|MF|=3. (1)求抛物线C的方程; (2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点,求四边形MPNQ面积的最小值. |
答案
(1)由已知:2+=3∴P=3 故抛物线C的方程为:y2=4x…(4分) (2)由(1)知:F(1,0) 设MN:x=my+1,PQ:x=-y+1(m≠0)…(6分) 由得:y2-4my-4=0 ∵△=16m2+16=16(m2+1)>0 ∴|MN|=•4•=4(m2+1)…(8分) 同理:|PQ|=4(+1)…(10分). ∴四边形MPNQ的面积:S=|MN||PQ|=8(m2+1)(+1)=8(m2++2)≥32 (当且仅当m2=即:m=±1时等号成立) ∴四边形MPNQ的面积的最小值为32.…(12分) |
举一反三
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比为:1. (1)求椭圆C的方程; (2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值. |
若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4相交,则点P(m,n)与椭圆C:+=1的位置关系为( )A.点P在椭圆C内 | B.点P在椭圆C上 | C.点P在椭圆C外 | D.以上三种均有可能 |
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已知抛物线C:x2=2py过点P(1,),直线l交C于A,B两点,过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M,N. (1)求p的值; (2)是否存在定点Q,当直线l过点Q时,△PAM与△PBN的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2周长为4. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)已知过椭圆中心,且斜率为k(k≠0)的直线与椭圆交于A、B两点,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,若△APB的面积为,求k的值.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026053112-37255.png) |
已知抛物线C的顶点在原点,经过点A(1,2),其焦点F在y轴上,直线y=kx+2交抛物线C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于点N. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行. |
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