已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N．（
题型：不详难度：来源：
已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行． |
答案
依题意，设抛物线C的方程为y=ax2，
（Ⅰ）∵点A（1，2）在抛物线C上，∴a=1．
∴抛物线C的方程为y=2x2．…（4分）
（Ⅱ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=-1，∴xN=xM==，
即N点的坐标为（，）．…（8分）
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-=m（x-），
将y=2x2代入上式得：2x2-mx+-=0，
∵直线l与抛物线C相切，所以△=m2-8（-）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）
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举一反三
已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．
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已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为2的直线交轨迹C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，P（x3，y3）（x3≥0）为轨迹C上一点，若=+λ，求λ的值． |
如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2的周长为4
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆E中心的任意弦，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，求△APB面积的最小值．
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如图，已知直线l：y=2x-4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．
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| 已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，顶点为O，准线为l，过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA1⊥l于点A1，以线段AF，AA1为邻边作平行四边形AFCA1，连接直线AC交l于点D，延长AF交抛物线于另一点B．若△AOB的面积为S△AOB，△ABD的面积为S△ABD，则的最大值为______． |
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