一束光线从点(0,1)出发,经过直线x+y-2=0反射后,恰好与椭圆x2+y22=1相切,则反射光线所在的直线方程为______.

一束光线从点(0,1)出发,经过直线x+y-2=0反射后,恰好与椭圆x2+y22=1相切,则反射光线所在的直线方程为______.

题型:不详难度:来源:
一束光线从点(0,1)出发,经过直线x+y-2=0反射后,恰好与椭圆x2+
y2
2
=1
相切,则反射光线所在的直线方程为______.
答案
设(0,1)关于x+y-2=0的对称点为(a,b),则





b-1
a-0
=1
a
2
+
b+1
2
-2=0

∴a=1,b=2.
当反射光线斜率不存在时,方程为x=1,满足题意;
当反射光线斜率存在时,设方程为y-2=k(x-1),即y=kx-k+2,
代入椭圆方程,整理可得(2+k2)x2+2k(2-k)x+2-4k+k2=0,
∵反射光线与椭圆x2+
y2
2
=1
相切,
∴△=4k2(2-k)2-4(2+k2)(2-4k+k2)=0,
∴k=
1
2

∴所求方程为x-2y+3=0.
综上,所求方程为x-2y+3=0或x=1.
故答案为:x-2y+3=0或x=1.
举一反三
已知椭圆
x2
4
+y2=1
,过点M(-1,0)作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求AB中点P的轨迹方程;
(2)求△OAB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,直线l:y=


3
(x-4)
关于直线l1:y=
b
a
x
对称的直线l′与x轴平行.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若点M(4,0)到双曲线上的点P的最小距离等于1,求双曲线的方程.
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直线l过x轴上的点M,l交椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
于A,B两点,O是坐标原点.
(1)若M的坐标为(2,0),当OA⊥OB时,求直线l的方程;
(2)若M的坐标为(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),是否存直线l,使得l垂直平分椭圆的一条弦?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,说明理由.
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已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程;
(Ⅱ)若


AM
=
1
2


MB
,求直线l的方程;
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
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已知点M(-1,0),N(1,0),动点P(x,y)满足:|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN

(1)求P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAQB的面积;若不存在,说明理由.
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