已知椭圆x24+y2=1,过点M(-1,0)作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.(1)求AB中点P的轨迹方程;(2)求△OAB面积的最大值,并求此时直线l
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已知椭圆x24+y2=1,过点M(-1,0)作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.(1)求AB中点P的轨迹方程;(2)求△OAB面积的最大值,并求此时直线l
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
,过点M(-1,0)作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求AB中点P的轨迹方程;
(2)求△OAB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
答案
(1)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),P(x,y),
则
x
21
4
+
y
21
=1,(1)
x
22
4
+
y
22
=1,(2)
(1)-(2),得
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
+
x
2
)
4
+(
y
1
-
y
2
)(
y
1
+
y
2
)=0
,
∴
x
4
+
y
x+1
•y=0
,即x
2
+x+4y
2
=0
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
令l:x=hy-1代入x
2
+4y
2
=4,得(4+h
2
)y
2
-2hy-3=0,△=16(h
2
+3)>0,
y
1
+y
2
=
2h
4+
h
2
,y
1
y
2
=-
3
4+
h
2
∴
S=
1
2
•|OM|•|
y
1
-
y
2
|=
1
2
•
△
4+
h
2
=
2
h
2
+3
h
2
+4
,
令
h
2
+3
=t≥
3
,则
S=
2t
t
2
+1
=
2
t+
1
t
在
[
3
,+∞)
上单调递减,
∴
t=
3
,即h=0时,
S
max=
3
2
,此时l:x=-1.
举一反三
已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,直线
l:y=
3
(x-4)
关于直线
l
1
:y=
b
a
x
对称的直线l′与x轴平行.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若点M(4,0)到双曲线上的点P的最小距离等于1,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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直线l过x轴上的点M,l交椭圆
x
2
8
+
y
2
4
=1
于A,B两点,O是坐标原点.
(1)若M的坐标为(2,0),当OA⊥OB时,求直线l的方程;
(2)若M的坐标为(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),是否存直线l,使得l垂直平分椭圆的一条弦?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C
1
和抛物线C
2
有公共焦点F(1,0),C
1
的中心和C
2
的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C
2
分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线C
2
的标准方程;
(Ⅱ)若
AM
=
1
2
MB
,求直线l的方程;
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C
2
上,直线l与椭圆C
1
有公共点,求椭圆C
1
的长轴长的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知点M(-1,0),N(1,0),动点P(x,y)满足:
|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
,
(1)求P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAQB的面积;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
-
y
2
2
=1
,过点P(-1,-2)的直线交C于A,B两点,且点P为线段AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)求弦长|AB|的值.
题型:不详
难度:
|
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