在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1．（Ⅰ）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为6

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若过点C₁（-1，0）的直线l被圆C₂截得的弦长为

6

5

，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C₃：（x+1）²+y²=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C₁的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

C1E

•

C1F

的取值范围；
（Ⅲ）若动圆C同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

答案

（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（+1），即kx-y+k=0．
因为直线l被圆C₂截得的弦长为

6

5

，而圆C₂的半径为1，
所以圆心C₂（3，4）到l：kx-y+k=0的距离为

|4k-4|

k2+1

=

4

5

．
化简，得12k²-25k+12=0，解得k=

4

3

或k=

3

4

．
所以直线l方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0…（4分）
（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）²+y²=9上移动，半径为1的圆
设∠EC₁F=2α，则在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，
有cos2α=2cos2α-1=

2

|PC1|2

-1，
则

C1E

•

C1F

=|

C1E

||

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1
由圆的几何性质得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC1|2≤16
则

C1E

•

C1F

的最大值为-

1

2

，最小值为-

7

8

．
故

C1E

•

C1F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．…（8分）
（Ⅲ）设圆心C（x，y），由题意，得CC₁=CC₂，
即

(x+1)2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2

．
化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
设C（m.3-m），则动圆C的半径为

1+CC12

=

(1+(m+1)2+(3-m)2

．
于是动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²．
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

得

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

或

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

所以定点的坐标为（1-

3

2

2

，2-

3

2

2

），（1+

3

2

2

，2+

3

2

2

）…（13分）