如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且MP=23PN,点P随线段MN的运动而变化.(1)求点P的轨迹C的方
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如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且MP=23PN,点P随线段MN的运动而变化.(1)求点P的轨迹C的方
题型:不详
难度:
来源:
如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且
MP
=
2
3
PN
,点P随线段MN的运动而变化.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
答案
(1)设M(x
0
,0),N(0,y
0
),P(x,y)因为|MN|=5,所以x
0
2
+y
0
2
=25(*)
又点P是MN上一点,且|MP|=2,所以P分
MN
所成的比为
2
3
∴
x=
x
0
+
2
3
×0
1+
2
3
=
3
5
x
0
y=
0+
2
3
×
y
0
1+
2
3
=
2
5
y
0
∴
x
0
=
5
3
x
y
0
=
5
2
y
将其代入(*)得
x
2
9
+
y
2
4
=1
即为所求的方程
(2)
OS
=
OA
+
OB
,所以四边形OASB为平行四边形,若存在l使得|
OS
|=|
AB
|,则四边形OASB为矩形
∴
OA
•
OB
=0
若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由
x=2
x
2
9
+
y
2
4
=1
得
x=2
y=±
2
5
3
∴
OA
•
OB
=
16
9
>0,与
OA
•
OB
=0
矛盾,故l的斜率存在.
设l的方程为y=k(x-2),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
y=k(x-2)
x
2
9
+
y
2
4
=1
⇒(9
k
2
+4)
x
2
-36
k
2
x+36(
k
2
-1)=0
∴
x
1
+
x
2
=
36
k
2
9
k
2
+4
,
x
1
x
2
=
36(
k
2
-1)
9
k
2
+4
①
y
1
y
2
=[k(x
1
-2)][k(x
2
-2)]=
k
2
[
x
1
x
2
-2(
x
1
+
x
2
)+4]=-
20
k
2
9
k
2
+4
②
把①、②代入
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0得k=±
3
2
∴存在直线l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等
举一反三
如图所示,F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点
(1,
3
2
)
到F
1
、F
2
两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F
2
作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F
1
PQ的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为x
2
=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x
1
,y
1
)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x
1
∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x
2
,y
2
)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F
1
、F
2
分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF
1
的中点,求证:∠ATM=∠AF
1
T.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx+2与曲线
y=
x
2
-1
,|x|>1
1-
x
2
,|x|≤1
恰有两个不同的交点,则k∈______.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)和圆C
2
:x
2
+y
2
=b
2
,已知圆C
2
将椭圆C
1
的长轴三等分,椭圆C
1
右焦点到右准线的距离为
2
4
,椭圆C
1
的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C
2
相交于点A、B.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)若直线EA、EB分别与椭圆C
1
相交于另一个交点为点P、M.
①求证:直线MP经过一定点;
②试问:是否存在以(m,0)为圆心,
3
2
5
为半径的圆G,使得直线PM和直线AB都与圆G相交?若存在,请求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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