如图,椭圆x2a2+y2b=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=32.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设F1、F
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如图,椭圆x2a2+y2b=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=32.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设F1、F
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F
1
、F
2
分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF
1
的中点,求证:∠ATM=∠AF
1
T.
答案
(I)过点A、B的直线方程为
x
2
+y=1
.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,
因为由题意得有惟一解,
y=-
1
2
x+1
即
(
b
2
+
1
4
a
2
)
x
2
-
a
2
x
2
+
a
2
-
a
2
b
2
=0
有惟一解,
所以△=a
2
b
2
(a
2
+4b
2
-4)=0(ab≠0),
故a
2
+4b
2
-4=0.
又因为
e=
3
2
,即
a
2
-
b
2
a
2
=
3
4
,
所以a
2
=4b
2
.
从而得
a
2
=2,
b
2
=
1
2
,
故所求的椭圆方程为
x
2
2
+2
y
2
=1
.
(II)由(I)得
c=
6
2
,
故
F
1
(-
6
2
,0),
F
2
(
6
2
,0)
,
从而
M(1+
6
4
,0)
.
x
2
2
+2
y
2
=1
,
由
y=-
1
2
x+1
解得x
1
=x
2
=1,
所以
T(1,
1
2
)
.
因为
tan∠A
F
1
T=
6
2
-1
,
又
tan∠TAM=
1
2
,
tan∠TM
F
2
=
2
6
,
得
tan∠ATM=
2
6
-
1
2
1+
1
6
=
6
2
-1
,
因此∠ATM=∠AF
1
T.
举一反三
若直线y=kx+2与曲线
y=
x
2
-1
,|x|>1
1-
x
2
,|x|≤1
恰有两个不同的交点,则k∈______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)和圆C
2
:x
2
+y
2
=b
2
,已知圆C
2
将椭圆C
1
的长轴三等分,椭圆C
1
右焦点到右准线的距离为
2
4
,椭圆C
1
的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C
2
相交于点A、B.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)若直线EA、EB分别与椭圆C
1
相交于另一个交点为点P、M.
①求证:直线MP经过一定点;
②试问:是否存在以(m,0)为圆心,
3
2
5
为半径的圆G,使得直线PM和直线AB都与圆G相交?若存在,请求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆C
1
:(x+1)
2
+y
2
=1,圆C
2
:(x-3)
2
+(y-4)
2
=1.
(Ⅰ)若过点C
1
(-1,0)的直线l被圆C
2
截得的弦长为
6
5
,求直线l的方程;
(Ⅱ)圆D是以1为半径,圆心在圆C
3
:(x+1)
2
+y
2
=9上移动的动圆,若圆D上任意一点P分别作圆C
1
的两条切线PE,PF,切点为E,F,求
C
1
E
•
C
1
F
的取值范围;
(Ⅲ)若动圆C同时平分圆C
1
的周长、圆C
2
的周长,则动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点M(
3
,0),椭圆
x
2
4
+y
2
=1与直线y=k(x+
3
)交于点A、B,则△ABM的周长为( )
A.4
B.8
C.12
D.16
题型:不详
难度:
|
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过椭圆
x
2
6
+
y
2
5
=1
内的一点P(2,-1)的弦,恰好被点P平分,则这条弦所在直线方程( )
A.
y=
5
3
x-
5
6
B.
y=
5
3
x-
13
3
C.
y=-
5
3
x+
5
6
D.
y=
5
3
x+
11
6
题型:不详
难度:
|
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