过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A、B两点.(1)求直线AB的方程;(2)试用p表示A、B之间
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过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A、B两点.(1)求直线AB的方程;(2)试用p表示A、B之间
题型:不详
难度:
来源:
过直角坐标平面xOy中的抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为
π
4
的直线与抛物线相交于A、B两点.
(1)求直线AB的方程;
(2)试用p表示A、B之间的距离;
(3)当p=2时,求∠AOB的余弦值.
参考公式:(x
A
2
+y
A
2
)(x
B
2
+y
B
2
)=x
A
x
B
[x
A
x
B
+2p(x
A
+x
B
)+4p
2
].
答案
(1)由题意知焦点
F(
p
2
,0)
,
∴过抛物线焦点且倾斜角为
π
4
的直线方程是
y=x-
p
2
,
即x-y-
p
2
=0,
(2)由
y
2
=2px
y=x-
p
2
⇒
x
2
-3px+
p
2
4
=0
⇒
x
A
+
x
B
=3p,
x
A
x
B
=
p
2
4
⇒|AB|=x
A
+x
B
+p=4p.
(3)由
y
2
=4x
y=x-1
⇒x
2
-6x+1=0⇒x
A
+x
B
=6,x
A
x
B
=1.
cos∠AOB=
|AO|
2
+
|BO|
2
-
|AB|
2
2|AO||BO|
=
x
A
2
+
y
A
2
+
x
B
2
+
y
B
2
-
(
x
A
-
x
B
)
2
-
(
y
A
-
y
B
)
2
2
(
x
A
2
+
y
A
2
)(
x
B
2
+
y
B
2
)
=
x
A
x
B
+
y
A
y
B
(
x
A
2
+
y
A
2
)(
x
B
2
+
y
B
2
)
=
2
x
A
x
B
-
p
2
(
x
A
+
x
B
)+
p
2
4
x
A
x
B
[
x
A
x
B
+2p(
x
A
+
x
B
)+4
p
2
]
=-
3
41
41
.
∴∠AOB的大小是与p无关的定值.
举一反三
设点
F(0,
3
2
)
,动圆P经过点F且和直线
y=-
3
2
相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求曲线W的方程;
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l
1
,l
2
,分别交曲线W于A,B和C,D.求四边形ACBD面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.直线
题型:不详
难度:
|
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已知圆的方程为x
2
+y
2
=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A
1
、A
2
,直线A
1
A
2
恰好经过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证
OQ
•
OR
为定值.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,线段F
1
F
2
被抛物线y
2
=2bx的焦点F内分成了3:1的两段.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点C(-1,0)的直线l交椭圆于不同两点A、B,且
AC
=2
CB
,当△AOB的面积最大时,求直线l和椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,点A、B分别是椭圆
x
2
36
+
y
2
20
=1
的长轴的左、右端点,F为椭圆的右焦点,直线PF的方程为
3
x+y-3
2
=0
,且PA⊥PF.
(Ⅰ)求直线PA的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
题型:不详
难度:
|
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