设点F(0,32),动圆P经过点F且和直线y=-32相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求曲线W的方程;(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l1,l2,分别交曲线
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设点F(0,32),动圆P经过点F且和直线y=-32相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求曲线W的方程;(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l1,l2,分别交曲线
题型:不详
难度:
来源:
设点
F(0,
3
2
)
,动圆P经过点F且和直线
y=-
3
2
相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求曲线W的方程;
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线l
1
,l
2
,分别交曲线W于A,B和C,D.求四边形ACBD面积的最小值.
答案
(Ⅰ)过点P作PN垂直直线
y=-
3
2
于点N.
依题意得|PF|=|PN|,
所以动点P的轨迹为是以
F(0,
3
2
)
为焦点,直线
y=-
3
2
为准线的抛物线,
即曲线W的方程是x
2
=6y
(Ⅱ)依题意,直线l
1
,l
2
的斜率存在且不为0,
设直线l
1
的方程为
y=kx+
3
2
,
由l
1
⊥l
2
得l
2
的方程为
y=-
1
k
x+
3
2
.
将
y=kx+
3
2
代入x
2
=6y,化简得x
2
-6kx-9=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=6k,x
1
x
2
=-9.
∴
|AB|=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(
y
1
-
y
2
)
2
=
(1+
k
2
)[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=6(
k
2
+1)
,
同理可得
|CD|=6(
1
k
2
+1)
.
∴四边形ACBD的面积
S=
1
2
|AB|•|CD|=18(
k
2
+1)(
1
k
2
+1)=18(
k
2
+
1
k
2
+2)≥72
,
当且仅当
k
2
=
1
k
2
,即k=±1时,S
min
=72.
故四边形ACBD面积的最小值是72.
举一反三
如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.直线
题型:不详
难度:
|
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已知圆的方程为x
2
+y
2
=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A
1
、A
2
,直线A
1
A
2
恰好经过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证
OQ
•
OR
为定值.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,线段F
1
F
2
被抛物线y
2
=2bx的焦点F内分成了3:1的两段.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点C(-1,0)的直线l交椭圆于不同两点A、B,且
AC
=2
CB
,当△AOB的面积最大时,求直线l和椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,点A、B分别是椭圆
x
2
36
+
y
2
20
=1
的长轴的左、右端点,F为椭圆的右焦点,直线PF的方程为
3
x+y-3
2
=0
,且PA⊥PF.
(Ⅰ)求直线PA的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
题型:不详
难度:
|
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在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线
y=
1
2
x
2
的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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