在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线y=12x2的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线y=12x2的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
来源:
在直线y=x-2上是否存在点P,使得经过点P能作出抛物线
y=
1
2
x
2
的两条互相垂直的切线?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
假设这样的点P存在,由题意可设点P坐标为P(m,m-2),又设所作的两条切线为PA,PB,其中A,B为切点,且点A,B的坐标分别为:
A(a,
1
2
a
2
)
,
B(b,
1
2
b
2
)
.
因为函数
y=
1
2
x
2
的导函数为y"=x,
所以由两切线垂直可得ab=-1,
且:
1
2
a
2
-(m-2)
a-m
=a
1
2
b
2
-(m-2)
b-m
=b
即,
a
2
-2ma+2(m-2)=0
b
2
-2mb+2(m-2)=0
.
故a,b是方程x
2
-2mx+2(m-2)=0的两实数根,
从而有:ab=2(m-2)=-1.解得:
m=
3
2
.
所以,存在这样的点P,其坐标为
P(
3
2
,-
1
2
)
.
举一反三
y轴上两定点B
1
(0,b)、B
2
(0,-b),x轴上两动点M,N.P为B
1
M与B
2
N的交点,点M,N的横坐标分别为X
M
、X
N
,且始终满足X
M
X
N
=a
2
(a>b>0且为常数),试求动点P的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
2
+
y
2
4
=1
两焦点分别为F
1
、F
2
,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足
P
F
1
•
P
F
2
=1
,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.
(1)求P点坐标;
(2)求证:直线AB的斜率为定值;
(3)求△PAB面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知方程ax
2
+by
2
=ab和ax+by+c=0(其中ab≠0,a≠b,c>0),它们所表示的曲线可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知抛物线C:y=-x
2
+2x,在点A(0,0),B(2,0)分别作抛物线的切线L
1
、L
2
.
(1)求切线L
1
和L
2
的方程;
(2)求抛物线C与切线L
1
和L
2
所围成的面积S.
题型:不详
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过点A(0,2)可以作 ______条直线与双曲线
x
2
-
y
2
4
=1
有且只有一个公共点.
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|
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