以抛物线y2=4x的焦点为右焦点的椭圆,上顶点为B2,右顶点为A2,左、右焦点为F1、F2,且|F1B2|cos∠B2F1F2=33|OB2|,过点D(0,2)
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以抛物线y2=4x的焦点为右焦点的椭圆,上顶点为B2,右顶点为A2,左、右焦点为F1、F2,且|F1B2|cos∠B2F1F2=33|OB2|,过点D(0,2)
题型:不详
难度:
来源:
以抛物线y
2
=4x的焦点为右焦点的椭圆,上顶点为B
2
,右顶点为A
2
,左、右焦点为F
1
、F
2
,且|
F
1
B
2
|cos∠B
2
F
1
F
2
=
3
3
|
O
B
2
|,过点D(0,2)的直线l,斜率为k(k>0),l与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若M,N的中点为H,且
OH
∥
A
2
B
2
,求出斜率k的值;
(3)在x轴上是否存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形?如果存在,求出m的范围;否则,请说明理由.
答案
(1)抛物线y
2
=4x的焦点为(1,0),∴椭圆中c=1,
∵|
F
1
B
2
|cos∠B
2
F
1
F
2
=
3
3
|
O
B
2
|,
∴b=
3
c=
3
,
∴a=2,
∴椭圆的标准方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(2)设l:y=kx+2(k>0),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
直线代入椭圆方程得(4k
2
+3)x
2
+16kx+4=0,
∴△=12k
2
-3>0,
∵k>0,∴k>
1
2
,
且x
1
+x
2
=
-16k
4
k
2
+3
,x
1
x
2
=
4
4
k
2
+3
,
∴MN的中点H(
-8k
4
k
2
+3
,
6
4
k
2
+3
),
∵
OH
∥
A
2
B
2
,
∴
6
4
k
2
+3
-8k
4
k
2
+3
=
3
-0
0-2
,
∴k=
3
2
>
1
2
,
∴k=
3
2
;
(3)设在x轴上存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形,则HQ⊥MN,
∴
6
4
k
2
+3
-0
-8k
4
k
2
+3
-m
•k=-1
,
∴m=-
2k
4
k
2
+3
=-
2
4k+
3
k
≥-
2
2
4k•
3
k
=-
3
6
,
当且仅当4k=
3
k
,即k=
3
2
时取等号,
又m=-
2k
4
k
2
+3
<0,
∴在x轴上存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形,m范围是[-
3
6
,0).
举一反三
如图,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于M,N两点,直线AO平分线段MN,求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C
1
:
x
2
4
+
y
2
3
=1
,抛物线C
2
:(y-m)
2
=2px(p>0),且C
1
、C
2
的公共弦AB过椭圆C
1
的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、p的值,并判断抛物线C
2
的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)是否存在m、p的值,使抛物线C
2
的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的m、p的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知如图,抛物线y=ax
2
+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ
∥
y轴交直线BC于点Q.
①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在这样的点P,使∠OQA为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(
3
,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
•
OB
>2(其中O为原点).求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.
(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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