已知直线l:y=kx+1,椭圆E:x29+y2m2=1(m>0).(Ⅰ)若不论k取何值,直线l与椭圆E恒有公共点,试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关
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已知直线l:y=kx+1,椭圆E:x29+y2m2=1(m>0).(Ⅰ)若不论k取何值,直线l与椭圆E恒有公共点,试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关
题型:不详
难度:
来源:
已知直线l:y=kx+1,椭圆E:
x
2
9
+
y
2
m
2
=1(m>0)
.
(Ⅰ)若不论k取何值,直线l与椭圆E恒有公共点,试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式;
(Ⅱ)当
k=
10
3
时,直线l与椭圆E相交于A,B两点,与y轴交于点M.若
AM
=2
MB
,求椭圆E的方程.
答案
(Ⅰ)∵直线l恒过定点M(0,1),且直线l与椭圆E恒有公共点,
∴点M(0,1)在椭圆E上或其内部,得
0
2
9
+
1
2
m
2
≤1(m>0)
,
解得m≥1,且m≠3.(3分)
(联立方程组,用判别式法也可)
当1≤m<3时,椭圆的焦点在x轴上,
e=
9-
m
2
3
;
当m>3时,椭圆的焦点在y轴上,
e=
m
2
-9
m
.
∴
e=
9-
m
2
3
(1≤m<3)
m
2
-9
m
(m>3)
(6分)
(Ⅱ)由
y=
10
3
x+1
x
2
9
+
y
2
m
2
=1
,消去y得
(
m
2
+10)
x
2
+6
10
x+9(1-
m
2
)=0
.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=-
6
10
m
2
+10
①,
x
1
x
2
=
9(1-
m
2
)
m
2
+10
②.
∵M(0,1),∴由
AM
=2
MB
得x
1
=-2x
2
③.(9分)
由①③得
x
2
=
6
10
m
2
+10
④.
将③④代入②得,
-2(
6
10
m
2
+10
)
2
=
9(1-
m
2
)
m
2
+10
,解得m
2
=6(m
2
=-15不合题意,舍去).
∴椭圆E的方程为
x
2
9
+
y
2
6
=1
.(12分)
举一反三
我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题.
(1)设F
1
、F
2
是椭圆M:
x
2
25
+
y
2
9
=1
的两个焦点,点F
1
、F
2
到直线L:
2
x-y+
5
=0的距离分别为d
1
、d
2
,试求d
1
•d
2
的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系.
(2)设F
1
、F
2
是椭圆M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的两个焦点,点F
1
、F
2
到直线L:mx+ny+p=0(m、n不同时为0)的距离分别为d
1
、d
2
,且直线L与椭圆M相切,试求d
1
•d
2
的值.
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明.
(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
2
2
,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,点M为椭圆的上顶点,且满足
MF
•
FB
=
2
-1
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为△PQM的垂心.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆Γ的中心在坐标原点O,过右焦点F(1,0)且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点,NP=NQ,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,设点F
1
(-c,0)、F
2
(c,0)分别是椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
P
F
1
•
P
F
2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l
1
:y=kx+m,l
2
:y=kx+n,若l
1
、l
2
均与椭圆C相切,证明:m+n=0;
(3)在(2)的条件下,试探究在x轴上是否存在定点B,点B到l
1
,l
2
的距离之积恒为1?若存在,请求出点B坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点.直线l与抛物线C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设
FA
•
FB
=
8
9
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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