已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足HP•PM=0,PM=-32MQ(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹曲线C
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已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足HP•PM=0,PM=-32MQ(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹曲线C
题型:沅江市模拟
难度:
来源:
已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
HP
•
PM
=0,
PM
=-
3
2
MQ
(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹曲线C的方程;
(2)过定点A(a,b)的直线与曲线C相交于两点S R,求证:抛物线S R两点处的切线的交点B恒在一条直线上.
答案
(1)设P(a,0),Q(0,b)则:
HP
•
PQ
=(a,3)(a,-b)=a
2
-3b=0
∴a
2
=3b
设M(x,y)∵
PM
=-
3
2
HQ
∴x=
a
1-
3
2
=-2a,y=
-
3
2
b
1-
3
2
=3b∴y=
1
4
x
2
(2)设A(a,b),S(x
1
,
1
4
x
1
2
),R(x
2
,
1
4
x
2
2
),(x
1
≠x
2
)
则直线SR的方程为:y-
1
4
x
1
2
=
1
4
x
2
2
-
1
4
x
1
2
x
2
-
x
1
(x-x
1
),即4y=(x
1
+x
2
)x-x
1
x
2
∵A点在SR上,
∴4b=(x
1
+x
2
)a-x
1
x
2
①
对y=
1
4
x
2
求导得:y′=
1
2
x
∴抛物线上SR处的切线方程为
y-
1
4
x
1
2
=
1
2
x
1
(x-x
1
)即4y=2x
1
x-x
1
2
②
y-
1
4
x
2
2
=
1
2
x
2
(x-x
2
)即4y=2x
2
x-x
2
2
③
联立②③得
x=
x
1
+
x
2
2
y=
1
4
x
1
x
2
代入①得:ax-2y-2b=0故:B点在直线ax-2y-2b=0上
举一反三
已知抛物线C:y
2
=4x,动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A,B两点,O为原点.
(1)求证:
OA
•
OB
是定值;
(2)求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,F是抛物线的焦点,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是C上异于 原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T
(1)求x
1
x
2
的值;
(2)求T的坐标;
(3)当点A在C上运动时,动点R满足:
FA
+
FB
=
FR
,求点R的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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若抛物线y
2
=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则p的取值范围是( )
A.(-
2
3
,0)
B.(0,
3
2
)
C.(0,
2
3
)
D.(-∞,0)∪(
2
3
,+∞)
题型:和平区一模
难度:
|
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若抛物线y
2
=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则a的取值范围是( )
A.(
-
4
3
,0)
B.(0,
3
4
)
C.(0,
4
3
)
D.(-∞,0)∪(
4
3
,+∞)
题型:和平区一模
难度:
|
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直线3x-4y+4=0与抛物线x
2
=4y和圆x
2
+(y-1)
2
=1从左到右的交点依次为A、B、C、D,则
|AB|
|CD|
的值为( )
A.16
B.4
C.
1
16
D.
1
4
题型:石家庄二模
难度:
|
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