已知抛物线C:y2=4x,动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A,B两点,O为原点.(1)求证:OA•OB是定值;(2)求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方
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已知抛物线C:y2=4x,动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A,B两点,O为原点.(1)求证:OA•OB是定值;(2)求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C:y
2
=4x,动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A,B两点,O为原点.
(1)求证:
OA
•
OB
是定值;
(2)求满足
OM
=
OA
+
OB
的点M的轨迹方程.
答案
由
y
2
=4x
y=k(x+1)
得k
2
x
2
+(2k
2
-4)x+k
2
=0.
由k≠0,且△>0,得-1<k<1,且k≠0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=
4
k
2
-2,x
1
x
2
=1.
(1)证明:
OA
•
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+k
2
(x
1
+1)(x
2
+1)
=(k
2
+1)x
1
x
2
+k
2
(x
1
+x
2
)+k
2
=k
2
+1+k
2
(
4
k
2
-2
)+k
2
=5,
∴
OA
•
OB
=5
为常数.
(2)
OM
=
OA
+
OB
=(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
)=(
4
k
2
-2
,
4
k
).
设M(x,y),则
x=
4
k
2
-2
y=
4
k
消去k得y
2
=4x+8.
又∵x=
4
k
2
-2
>2,故M的轨迹方程为y
2
=4x+8(x>2).
举一反三
已知抛物线C:y
2
=4x,F是抛物线的焦点,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是C上异于 原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T
(1)求x
1
x
2
的值;
(2)求T的坐标;
(3)当点A在C上运动时,动点R满足:
FA
+
FB
=
FR
,求点R的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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若抛物线y
2
=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则p的取值范围是( )
A.(-
2
3
,0)
B.(0,
3
2
)
C.(0,
2
3
)
D.(-∞,0)∪(
2
3
,+∞)
题型:和平区一模
难度:
|
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若抛物线y
2
=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A,B,则a的取值范围是( )
A.(
-
4
3
,0)
B.(0,
3
4
)
C.(0,
4
3
)
D.(-∞,0)∪(
4
3
,+∞)
题型:和平区一模
难度:
|
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直线3x-4y+4=0与抛物线x
2
=4y和圆x
2
+(y-1)
2
=1从左到右的交点依次为A、B、C、D,则
|AB|
|CD|
的值为( )
A.16
B.4
C.
1
16
D.
1
4
题型:石家庄二模
难度:
|
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已知双曲线C
1
的渐近线方程是y=±
3
3
x,且它的一条准线与渐近线y=
3
3
x及x轴围成的三角形的周长是
3
2
(1+
3
)
.以C
1
的两个顶点为焦点,以C
1
的焦点为顶点的椭圆记为C
2
.
(1)求C
2
的方程;
(2)已知斜率为
1
2
的直线l经过定点P(m,0)(m>0)并与椭圆C
2
交于不同的两点A、B,若对于椭圆C
2
上任意一点M,都存在θ∈[0,2π],使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立.求实数m的值.
题型:吉安二模
难度:
|
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