已知函数f(x)=x2+(12lnx-a)x+2在点(1,f(1))处的切线的斜率为12.(Ⅰ)求a的值;( II)设函数g(x)=f(x)2x-4(x>2)问

已知函数f(x)=x2+(12lnx-a)x+2在点(1,f(1))处的切线的斜率为12.(Ⅰ)求a的值;( II)设函数g(x)=f(x)2x-4(x>2)问

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+(
1
2
lnx-a)x+2
在点(1,f(1))处的切线的斜率为
1
2

(Ⅰ)求a的值;
( II)设函数g(x)=
f(x)
2x-4
(x>2)
问:函数y=g(x)是否存在最小值点x0?若存在,求出满足x0<m的整数m的最小值;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)f′(x)=2x+
1
2x
•x+(
1
2
lnx-a)•1
=2x+
1
2
+
1
2
lnx
-a,
由题意得f′(1)=2×1+
1
2
+0-a=
1
2
,解得a=2;
(II)由(Ⅰ)知f(x)=x2+(
1
2
lnx-2)x+2

g(x)=
f(x)
2x-4
=
x2+(
1
2
lnx-2)x+2
2x-4

g′(x)=
(2x+
1
2
lnx-
3
2
)(2x-4)-(x2+
x
2
lnx-2x+2)×2
(2x-4)2
=
2x2-7x+2-2lnx
(2x-4)2

令h(x)=2x2-7x+2-2lnx,则h′(x)=4x-7-
2
x
=
4x2-7x-2
x
=
(4x+1)(x-2)
x
>0

故h(x)在(2,+∞)上为增函数,
又 h(2)=-4-2ln2<0,h(3)=-1-2ln3<0,h(4)=6-2ln4>0,
因此最小值点x0为h(x)的零点,所以3<x0<4,而x0<m,m是整数,
故整数m的最小值为4.
举一反三
曲线y=
x+1
x-2
在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直,则实数b的值为______.
题型:江苏三模难度:| 查看答案
已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+ax.
(1)当a=2时,求f (x)的极小值;
(2)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于
5
4
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
2
x
+alnx-2

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求a的范围.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为______.
题型:肇庆二模难度:| 查看答案
曲线y=
4
ex+1
在点(0,2)
处的切线方程为______.
题型:洛阳模拟难度:| 查看答案
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