已知函数f(x)=2x+alnx-2(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求a的值;(Ⅱ)若f(x)≥0在x∈[1,+∞)
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已知函数f(x)=2x+alnx-2(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求a的值;(Ⅱ)若f(x)≥0在x∈[1,+∞)
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
2
x
+alnx-2
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求a的范围.
答案
(Ⅰ)函数y=f(x)的导数为f′(x)=-
2
x
2
+
a
x
,则
∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,直线y=x+2的斜率为1,
∴f′(1)=-2+a=-1,∴a=1;
(Ⅱ)求导数可得
f′(x)=
ax-2
x
2
(x≥1)
a≥2时,f′(x)≥0,函数在x∈[1,+∞)上单调递增,∴f(x)
min
=f(1)=0,满足题意;
a<2时,f′(x)<0,函数在x∈[1,+∞)上单调递减,∴f(x)
max
=f(1)=0,不满足题意
综上,a的范围为[2,+∞).
举一反三
曲线y=x
3
+3x
2
+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为______.
题型:肇庆二模
难度:
|
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曲线
y=
4
e
x
+1
在点(0,2)
处的切线方程为______.
题型:洛阳模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
2
-2
a
2
x+1(a>0)
.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若方程f(x)=0恰有三个不同的实根,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知不等式f"(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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曲线在
y=
1
3
x
3
-
x
2
+5
在x=1处的切线的方程为 ______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=lnx(x>0)的图象与直线
y=
1
2
x+a
相切,则a等于( )
A.ln2-1
B.ln2+1
C.ln2
D.2ln2
题型:不详
难度:
|
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