已知圆F的方程是x2+y2-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点

已知圆F的方程是x2+y2-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点

题型:朝阳区二模难度:来源:
已知圆F的方程是x2+y2-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点从左至右依次为A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,则α的值为(  )
A.±arctan


2
2
B.
π
4
C.arctan


2
2
D.arctan


2
2
或π-arctan


2
2
答案
∵圆Fx2+y2-2y=0 即x2+(y-1)2=1
∴F(0,1),r=1
∵抛物线以F点为焦点
p
2
=1
∴抛物线方程为:x2=4y
过F点的直线与抛物线相交于A、D两点,
BC为圆F的直径|BC|=2
∵|AB|,|BC|,|CD|成等差数列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直线l过F(0,1)则设直线解析式为:y=kx+1
A、D两点是过F点的直线与抛物线交点
设A(x1,y1)D(x2,y2)则|AD|=


(x1-x2)2+(y1-y2)2
=6
联立y=kx+1和x2=4y,得x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4  x1+x2=4k
∴|AD|=


(x1-x2)2+(y1-y2)2
=


(x1-x22+k2(x1-x22


(x1-x22(1+k2)
=


[(x1+x22- 4x1x2](1+k2
=


16(1+k2)2
=6
∴1+k2=
3
2

∴k=±


2
2

∴α的值为:arctan


2
2
或π-arctan


2
2

故选D.
举一反三
α∈[
π
2
,π]
时,方程x2sinα-y2cosα=1表示的曲线可能是______.(填上你认为正确的序号)
①圆;②两条平行直线;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.
题型:黄冈模拟难度:| 查看答案
过抛物线y=
1
4
x2
焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,则线段AB中点的轨迹方程为______.
题型:杨浦区二模难度:| 查看答案
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A、B两点,若点A的横坐标为x0,则点F分有向线段


AB
所成的比为(  )
A.
2p
x0
B.
p
2x0
C.
x0
2p
D.
2x0
p
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
抛物线x2=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线,切点分别为M、N,若O是坐标原点,则


OM


ON
=______.
题型:丹东二模难度:| 查看答案
过双曲线C:x2-
y2
m2
=1
的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其k1、k2满足关系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0,k1>k2
(1)求直线MN的斜率;
(2)当m2=2+


3
时,若∠MAN=60°,求直线MA、NA的方程.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
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