已知圆F的方程是x2+y2-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点
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已知圆F的方程是x2+y2-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点
题型:朝阳区二模
难度:
来源:
已知圆F的方程是x
2
+y
2
-2y=0,抛物线的顶点在原点,焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l,l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上,这四个点从左至右依次为A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,则α的值为( )
A.±arctan
2
2
B.
π
4
C.arctan
2
2
D.arctan
2
2
或π-arctan
2
2
答案
∵圆Fx
2
+y
2
-2y=0 即x
2
+(y-1)
2
=1
∴F(0,1),r=1
∵抛物线以F点为焦点
p
2
=1
∴抛物线方程为:x
2
=4y
过F点的直线与抛物线相交于A、D两点,
BC为圆F的直径|BC|=2
∵|AB|,|BC|,|CD|成等差数列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直线l过F(0,1)则设直线解析式为:y=kx+1
A、D两点是过F点的直线与抛物线交点
设A(x
1
,y
1
)D(x
2
,y
2
)则|AD|=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(
y
1
-
y
2
)
2
=6
联立y=kx+1和x
2
=4y,得x
2
-4kx-4=0
∴x
1
x
2
=-4 x
1
+x
2
=4k
∴|AD|=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(
y
1
-
y
2
)
2
=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
k
2
(
x
1
-
x
2
)
2
=
(
x
1
-
x
2
)
2
(1+
k
2
)
=
[(
x
1
+
x
2
)
2
- 4
x
1
x
2
](1+
k
2
)
=
16
(1+
k
2
)
2
=6
∴1+k
2
=
3
2
∴k=±
2
2
∴α的值为:arctan
2
2
或π-arctan
2
2
故选D.
举一反三
当
α∈[
π
2
,π]
时,方程x
2
sinα-y
2
cosα=1表示的曲线可能是______.(填上你认为正确的序号)
①圆;②两条平行直线;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.
题型:黄冈模拟
难度:
|
查看答案
过抛物线
y=
1
4
x
2
焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,则线段AB中点的轨迹方程为______.
题型:杨浦区二模
难度:
|
查看答案
已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A、B两点,若点A的横坐标为x
0
,则点F分有向线段
AB
所成的比为( )
A.
2p
x
0
B.
p
2
x
0
C.
x
0
2p
D.
2
x
0
p
题型:海淀区二模
难度:
|
查看答案
抛物线x
2
=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线,切点分别为M、N,若O是坐标原点,则
OM
•
ON
=______.
题型:丹东二模
难度:
|
查看答案
过双曲线C:
x
2
-
y
2
m
2
=1
的右顶点A作两条斜率分别为k
1
、k
2
的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其k
1
、k
2
满足关系式k
1•
k
2
=-m
2
且k
1
+k
2
≠0,k
1
>k
2
(1)求直线MN的斜率;
(2)当m
2
=
2+
3
时,若∠MAN=60°,求直线MA、NA的方程.
题型:武汉模拟
难度:
|
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