已知圆O的方程为x2+y2=16.(1)求过点M(-4,8)的圆O的切线方程;(2)过点N(3,0)作直线与圆O交于A、B两点,求△OAB的最大面积以及此时直线
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已知圆O的方程为x2+y2=16. (1)求过点M(-4,8)的圆O的切线方程; (2)过点N(3,0)作直线与圆O交于A、B两点,求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率. |
答案
(1)∵圆O的方程为x2+y2=16, ∴圆心为O(0,0),半径r=4, 设过点M(-4,8)的切方程为y-8=k(x+4),即kx-y+4k+8=0,(1分) 则=4,解得k=-,(3分) 切线方程为3x+4y-20=0(5分) 当斜率不存在时,x=-4也符合题意. 故求过点M(-5,11)的圆C的切线方程为:3x+4y-20=0或x=-4.(6分) (2)当直线AB的斜率不存在时,S△ABC=3,(7分) 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0, 圆心O(0,0)到直线AB的距离d=,(9分) 线段AB的长度|AB|=2, ∴S△ABC=|AB|d=d=≤=8.(11分) 当且仅当d2=8时取等号,此时 =8,解得k=±2. 所以,△OAB的最大面积为8,此时直线AB的斜率为±2.(12分) |
举一反三
已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=,且过点P(1,1). (1)求椭圆的方程; (2)若点A(x0,y0)为圆x2+y2=1上任一点,过点A作圆的切线交椭圆于B,C两点,求证:CO⊥OB(O为坐标原点). |
直线y=x+m与圆x2+y2-2x+2y=0相切,则m是( ) |
已知⊙C:x2+y2+2x-4y+1=0. (1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等,求切线的方程. (2)从圆外一点P(x0,y0)向圆引切线PM,M为切点,O为原点,若|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P点坐标. |
已知圆x2+y2=4和圆外一点p(-2,-3),求过点p的圆的切线方程. |
求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第一象限的交点处的切线方程. |
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