过双曲线C:x2-y2m2=1的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其k1、k2满足关系式k1•k2=-m2且k1+k2≠
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过双曲线C:x2-y2m2=1的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其k1、k2满足关系式k1•k2=-m2且k1+k2≠
题型:武汉模拟
难度:
来源:
过双曲线C:
x
2
-
y
2
m
2
=1
的右顶点A作两条斜率分别为k
1
、k
2
的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其k
1
、k
2
满足关系式k
1•
k
2
=-m
2
且k
1
+k
2
≠0,k
1
>k
2
(1)求直线MN的斜率;
(2)当m
2
=
2+
3
时,若∠MAN=60°,求直线MA、NA的方程.
答案
(1)C:
x
2
-
y
2
m
2
=1
的右顶点A坐标为(1,0)
设MA直线方程为y=k
1
(x-1),代入m
2
x
2
-y
2
-m
2
=0中,整理得(m
2
-k
1
)x
2
+2k
1
2
x-(k
1
2
+m
2
)=0)
由韦达定理可知
x
m
•
x
A
=
k
21
+
m
2
k
21
-
m
2
,而x
A
=1,又k
1
k
2
=-m
2
∴
x
m
=
k
21
+
m
2
k
21
-
m
2
=
k
21
-
k
1
k
2
k
21
+
k
1
k
2
=
k
1
-
k
2
k
1
+
k
2
于是
y
m
=
k
1
(
x
m
-1)=
k
1
(
k
1
-
k
2
k
1
+
k
2
-1)=
-2
k
1
k
2
k
1
+
k
2
由同理可知
y
n
=
-2
k
1
k
2
k
1
+
k
2
,于是有y
m
=y
n
∴MN
∥
x抽,从而MN直线率k
MN
=0.
(2)∵∠MAN=60°,说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°.
则
k
2
-
k
1
1+
k
1
k
2
=
3
或
k
1
-
k
2
1+
k
1
k
2
=
3
,
又
k
1
k
2
=-(3+
3
)
,k
1
>k
2
从而
k
2
-
k
1
=-3-
3
k
1
k
2
=-(2+
3
)
则求得
k
1
=1
k
2
=-(2+
3
)
或
k
1
=2+
3
k
2
=-1
因此MA,NA的直线的方程为y=x-1,
y=-(2+
3
)(x-1)
或为
y=(2+
3
)(x-1)
,y=-(x-1).
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
(1)已知椭圆的长轴是焦距的2倍,右焦点坐标为F(1,0),写出椭圆C的方程;
(2)设K是(1)中所的椭圆上的动点,点O是坐标原点,求线段KO的中点B的轨迹方程;
(3)设点P是(1)中椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k
PM
,K
PN
试探究k
PM
•K
PN
的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论.
题型:上海模拟
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点A(4,0)且与抛物线交于P,Q两点.并设以弦PQ为直径的圆恒过原点.
(Ⅰ)求焦点坐标;
(Ⅱ)若
FP
+
FQ
=
FR
,试求动点R的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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过双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q,则满足|PQ|=6的直线l的条数有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:嘉定区二模
难度:
|
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过点M(1,1)的直线l与曲线C:
x
2
4
+
y
2
9
=1
相交于A、B两点,若点M是弦AB的中点则直线l的方程为______.
题型:武昌区模拟
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,(a>b>0)
左、右焦点分别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为
3
2
,∠BF
2
A=120°.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N,且以MN为直径的圆恰好过原点,求实数k的取值;
(3)动点P使得
F
1
P
•
F
1
F
2
、
P
F
1
•
P
F
2
、
F
2
F
1
•
F
2
P
成公差小于零的等差数列,记θ为向量
P
F
1
与
P
F
2
的夹角,求θ的取值范围.
题型:崇明县二模
难度:
|
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