已知椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为32,

已知椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为32,

题型:崇明县二模难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为


3
2
,∠BF2A=120°.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N,且以MN为直径的圆恰好过原点,求实数k的取值;
(3)动点P使得


F1P


F1F2


PF1


PF2


F2F
1


F2P
成公差小于零的等差数列,记θ为向量


PF1


PF2
的夹角,求θ的取值范围.
答案
(1)在RT△BOF2中,∠BF2O=60°,计算得:b=


3
c,a=2c

S△ABF2=
1
2
((a-c)b=


3
2
,计算得a=2,b=


3
,c=1
,所以椭圆标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设交点M、N坐标为M(x1,y1),N(x2,y2
将直线y=kx+2代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
整理得方程,3+4k2)x2+16kx+4=0;





x1+x2=-
16k
3+4k2
x1x2=
4
3+4k2

由△>0得k<-
1
2
或k>
1
2

由MN为直径的圆过原点得x1•x2+y1•y2=0,所以x1•x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,计算并检验得k=±
2


3
3
即为所求.
(3)设P(x,y),由


F1P


F1F2


PF1


PF2


F2F
1


F2P
成公差小于零的等差数列得:x2+y2=33≥x2>0cosα=


PF1


PF2


|PF1|
×|


PF2
|
=
1


4-x2

所以
1
2
<cosθ≤1
,所以
π
3
>θ≥0
举一反三
已知点M(-5,0)、C(1,0),B分


MC
所成的比为2.P是平面上一动点,且满足|


PC
|•|


BC
|=


PB


CB

(1)求点P的轨迹C对应的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD、AE,且AD、AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.试推断:动直线DE有何变化规律,证明你的结论.
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
在平面直角坐标系中,若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=______.
题型:河东区一模难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点与抛物线y2=4


3
x
的焦点F重合,且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使


PE


QE
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
题型:泰安一模难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A、B分别是椭圆的左、右顶点,点M满足MB⊥AB,连接AM,交椭圆于P点,试问:在x轴上是否存在异于点A的定点C,使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点,若存在,求出C点的坐标;若不存在,说明理由.
题型:武昌区模拟难度:| 查看答案
已知抛物线C的顶点为坐标原点,椭圆C′的对称轴是坐标轴,抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
(Ⅰ)若抛物线C和椭圆C′都经过点M(1,2),求抛物线C和椭圆C′的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点p(3,0),交抛物线C于A,B两点,直线l′:x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值,求抛物线C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别过A,B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D,直线AB与轨迹D交于点F,求|EF|的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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