已知椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为32,
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已知椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为32,
题型:崇明县二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,(a>b>0)
左、右焦点分别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),点A、B坐标为A(a,0),B(0,b),若△ABC面积为
3
2
,∠BF
2
A=120°.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线y=kx+2与椭圆交于不同的两点M、N,且以MN为直径的圆恰好过原点,求实数k的取值;
(3)动点P使得
F
1
P
•
F
1
F
2
、
P
F
1
•
P
F
2
、
F
2
F
1
•
F
2
P
成公差小于零的等差数列,记θ为向量
P
F
1
与
P
F
2
的夹角,求θ的取值范围.
答案
(1)在RT△BOF
2
中,∠BF
2
O=60°,计算得:
b=
3
c,a=2c
由
S
△AB
F
2
=
1
2
((a-c)b=
3
2
,计算得
a=2,b=
3
,c=1
,所以椭圆标准方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(2)设交点M、N坐标为M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
将直线y=kx+2代入椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
整理得方程,3+4k
2
)x
2
+16kx+4=0;
x
1
+
x
2
=-
16k
3+4
k
2
x
1
•
x
2
=
4
3+4
k
2
由△>0得
k<-
1
2
或k>
1
2
由MN为直径的圆过原点得x
1
•x
2
+y
1
•y
2
=0,所以x
1
•x
2
+(kx
1
+2)(kx
2
+2)=0,计算并检验得
k=±
2
3
3
即为所求.
(3)设P(x,y),由
F
1
P
•
F
1
F
2
、
P
F
1
•
P
F
2
、
F
2
F
1
•
F
2
P
成公差小于零的等差数列得:x
2
+y
2
=33≥x
2
>0
cosα=
P
F
1
•
P
F
2
|P
F
1
|
×|
P
F
2
|
=
1
4-
x
2
所以
1
2
<cosθ≤1
,所以
π
3
>θ≥0
.
举一反三
已知点M(-5,0)、C(1,0),B分
MC
所成的比为2.P是平面上一动点,且满足
|
PC
|•|
BC
|=
PB
•
CB
.
(1)求点P的轨迹C对应的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD、AE,且AD、AE的斜率k
1
、k
2
满足k
1
k
2
=2.试推断:动直线DE有何变化规律,证明你的结论.
题型:重庆模拟
难度:
|
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在平面直角坐标系中,若直线ax-y+1=0经过抛物线y
2
=4x的焦点,则实数a=______.
题型:河东区一模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点与抛物线
y
2
=4
3
x
的焦点F重合,且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使
PE
•
QE
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
题型:泰安一模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A、B分别是椭圆的左、右顶点,点M满足MB⊥AB,连接AM,交椭圆于P点,试问:在x轴上是否存在异于点A的定点C,使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点,若存在,求出C点的坐标;若不存在,说明理由.
题型:武昌区模拟
难度:
|
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已知抛物线C的顶点为坐标原点,椭圆C′的对称轴是坐标轴,抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
(Ⅰ)若抛物线C和椭圆C′都经过点M(1,2),求抛物线C和椭圆C′的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点p(3,0),交抛物线C于A,B两点,直线l′:x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值,求抛物线C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别过A,B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D,直线AB与轨迹D交于点F,求|EF|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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