已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)若A、B分别是椭圆的左、右顶点,点M满
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)若A、B分别是椭圆的左、右顶点,点M满
题型:武昌区模拟
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A、B分别是椭圆的左、右顶点,点M满足MB⊥AB,连接AM,交椭圆于P点,试问:在x轴上是否存在异于点A的定点C,使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点,若存在,求出C点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意知
b=c
1
2
bc=1
解得b=c=
2
,从而a=2.
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
(4分)
(2)A(-2,0),B(2,0),
可设直线AM的方程为y=k(x+2),P(x
1
,y
1
),MB⊥AB,∴M(2,4k),
直线AM代入椭圆方程x
2
+2y
2
=4,
得 (1+2k
2
)x
2
+8k
2
x+8k
2
-4=0(6分)
∴
x
1
(-2)=
8
k
2
-4
2k
2
+1
,
∴x
1
=
2-4
k
2
2k
2
+1
,
∴P(
2-4
k
2
2k
2
+1
,
4
k
2
2k
2
+1
),
设C(x
0
,0),且x
0
≠-2,以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点,则
MC⊥BP,∴
MC
•
BP
=0,即:(2-x
0
)
-8
k
2
2k
2
+1
+4k
4
k
2k
2
+1
=
8
k
2
2k
2
+1
x
0
=0
,
∴x
0
=0,
故存在异于点A的定点C(0,0),使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点.
举一反三
已知抛物线C的顶点为坐标原点,椭圆C′的对称轴是坐标轴,抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
(Ⅰ)若抛物线C和椭圆C′都经过点M(1,2),求抛物线C和椭圆C′的方程;
(Ⅱ)已知动直线l过点p(3,0),交抛物线C于A,B两点,直线l′:x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值,求抛物线C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别过A,B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D,直线AB与轨迹D交于点F,求|EF|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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(理)设椭圆
x
2
m+1
+
y
2
=1
的两个焦点是F
1
(-c,0)、F
2
(c,0)(c>0),且椭圆上存在点M,使
M
F
1
•
M
F
2
=0
.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若直线l:y=x+2与椭圆存在一个公共点E,使得|EF
1
|+|EF
2
|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程;
(3)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,与条件(Ⅱ)下的椭圆交于A、B两点,使得经过AB的中点Q及N(0,-1)的直线NQ满足
NQ
•
AB
=0
?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:黄冈模拟
难度:
|
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若抛物线y
2
=2px的焦点与双曲线
x
2
6
-
y
2
3
=1
的右焦点重合,则p的值为( )
A.6
5
B.6
C.2
3
D.3
题型:莆田模拟
难度:
|
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正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y
2
=4x上,一条对角线BD在直线x+2y-4=0上,求此正方形的边长.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(3,4)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上的一点,两个焦点为F
1
,F
2
,若PF
1
⊥PF
2
,试求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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