正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y2=4x上，一条对角线BD在直线x+2y-4=0上，求此正方形的边长．

题型：不详难度：来源：

正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y²=4x上，一条对角线BD在直线x+2y-4=0上，求此正方形的边长．

答案

∵AC⊥BD
∴AC斜率是2
设直线方程为y=2x+b
代入抛物线方程得4x²+4bx+b²=4x
即4x²+（4b-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=-

4b-4

=1-b
∵y=2x+b
∴y₁+y₂=2x₁+b+2x₂+b=2（1-b）+2b=2
∵AC中点（

x1+x2

，

y1+y2

）在BD上
∴1=-

•

1-b

+2
∴b=-3
代入4x²+（4b-4）x+b²=0
得4x²-16x+9=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=7
（y₁-y₂）²=[2（x₁-x₂）]²=28
∴AC=

7+28

∴AB=

举一反三

已知点P（3，4）是椭圆

=1（a＞b＞0）上的一点，两个焦点为F₁，F₂，若PF₁⊥PF₂，试求椭圆的方程．

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已知抛物线C₁：y²=x+7，圆C₂：x²+y²=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C₁，C₂依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．

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设双曲线

=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c．已知原点到直线l：bx+ay=ab的距离等于

c+1，则c的最小值为______．

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已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

•

=0，

（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S R，求证：抛物线S R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

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已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：

•

是定值；
（2）求满足

的点M的轨迹方程．

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