已知点P（3，4）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一点，两个焦点为F1，F2，若PF1⊥PF2，试求椭圆的方程．

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已知点P（3，4）是椭圆

=1（a＞b＞0）上的一点，两个焦点为F₁，F₂，若PF₁⊥PF₂，试求椭圆的方程．

答案

令F₁（c，0），F₂（-c，0），则b²=a²-c²．_{∵PF₁⊥PF₂}，∴kPF1•kPF2=-1，
即

3+c

•

3-c

=-1，解得c=5，
∴椭圆方程为

a2-25

=1，
∵点P（3，4）在椭圆上，∴

a2-25

=1，
解得a²=45或a²=5
又a＞c，a²=5舍去，
故所求椭圆方程为

=1．

举一反三

已知抛物线C₁：y²=x+7，圆C₂：x²+y²=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C₁，C₂依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．

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设双曲线

=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c．已知原点到直线l：bx+ay=ab的距离等于

c+1，则c的最小值为______．

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已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

•

=0，

（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S R，求证：抛物线S R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

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已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：

•

是定值；
（2）求满足

的点M的轨迹方程．

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已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：

，求点R的轨迹方程．

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