已知抛物线C的顶点为坐标原点,椭圆C′的对称轴是坐标轴,抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点(Ⅰ)若抛物线C和椭圆C′都经过点M(1,2),求抛物线C和椭
题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的顶点为坐标原点,椭圆C′的对称轴是坐标轴,抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点 (Ⅰ)若抛物线C和椭圆C′都经过点M(1,2),求抛物线C和椭圆C′的方程; (Ⅱ)已知动直线l过点p(3,0),交抛物线C于A,B两点,直线l′:x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值,求抛物线C的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别过A,B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D,直线AB与轨迹D交于点F,求|EF|的最小值. |
答案
(I)设抛物线C的方程为:y2=2px, 抛物线C经过点M(1,2)则22=2p×1 ∴抛物线C的方程为:y2=4x其焦点为F2(1,0) 故可设椭圆C′的焦点为F1(1,0)和F2(1,0), 2a=|MF1|+|MF3|=2+2 ∴b2=(+1)2-12=2+2 ∴椭圆C′的方程为:+=1(3分) (II)设A(2pt2,2pt)则AP的中点Q(pt2+,pt), 以AP为直径的圆的半径为r r2=(pt2-)2+(pt)2, 设Q(pt2+,pt)到直线l′:x=2的距离为d 则d=|pt2+-2|=|pt2-| 设直线l′:x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN,则: ()2=r2-d2=(pt2-)2+(pt)2-(pt2-)2=(p2-2p)t2+2 由于|MN|为定值,所以p2-2p=0所以p=2 ∴抛物线C的方程为:y2=4x(8分) (III)设A(x1,y1),B(x2,y2) 利用导数法或判别式法可求得AE,BE的方程分别为 AE:y1y=2(x1+x),BE:y2y=2(x2+x)若E(x0,y0)则 y1y0=2(x1+x0),y2y0=2(x2+x0)故AB:y0y=2(x0+x) 又因为AB过点P(3,0),所以y0×0=2(x0+3)所以x0=-3 即E的轨迹为D的方程为x=-3,交AB:y0y=2(x0+x)于点F(-3,-) |EF|=|y0-(-)|=|y0+|≥2=4; 当且仅当y0=即y0=±2时取等号; 所以|EF|的最小值为4.(13分) |
举一反三
(理)设椭圆+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点M,使•=0. (1)求实数m的取值范围; (2)若直线l:y=x+2与椭圆存在一个公共点E,使得|EF1|+|EF2|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程; (3)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,与条件(Ⅱ)下的椭圆交于A、B两点,使得经过AB的中点Q及N(0,-1)的直线NQ满足•=0?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. |
若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( ) |
正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y2=4x上,一条对角线BD在直线x+2y-4=0上,求此正方形的边长. |
已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,两个焦点为F1,F2,若PF1⊥PF2,试求椭圆的方程. |
已知抛物线C1:y2=x+7,圆C2:x2+y2=5. (1)求证抛物线与圆没有公共点; (2)过点P(a,0)作与x轴不垂直的直线l交C1,C2依次为A、B、C、D,若|AB|=|CD|,求实数a的变化范围. |
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