已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的取值范围．

答案

（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设f（x）=a（x+1）²-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x+1）²-1；
（2）g（x）=f（-x）-mf（x）+1=（-x+1）²-1-m（x+1）²+m+1=（1-m）x²-2（1+m）x+1
①m=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是减函数，满足题意；
②

1-m＞0 1+m 1-m ≥1

或

1-m＜0 1+m 1-m ≤-1

，解得0≤m＜1或m＞1
综上知，m≥0．