已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，直线l：y=x+22与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程

题型：惠州模拟难度：来源：

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，直线l：y=x+2

2

与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

答案

（Ⅰ）∵e=

2

2

，∴e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²
∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切
∴

2 2

2

=b，∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴椭圆C₁的方程是

x2

8

+

y2

4

=1（3分）
（Ⅱ）∵MP=MF₂，
∴动点M到定直线l₁：x=-2的距离等于它到定点F₂（2，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C₂的方程为y²=8x（6分）

（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则直线AC的方程为y=k（x-2）
联立

x2

8

+

y2

4

=1及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
所以x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-8

1+2k2

|AC|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

32 (k2+1)

1+2k2

．（8分）
由于直线BD的斜率为-

1

k

，用-

1

k

代换上式中的k可得|BD|=

32 (1+k2)

k2+2

∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|=

16(1+k2)2

(k2+2)(1+2k2)

..（10分）
由（1+2k²）（k²+2）≤[

(1+2k2)(k2+2)

2

]²=[

3(k2+1)

2

]²
所以S≥

64

9

，当1+2k²=k²+2时，即k=±1时取等号．（11分）
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为

64

9

（12分）