设椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=43,F2为椭圆的右焦点,

设椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=43,F2为椭圆的右焦点,

题型:不详难度:来源:
设椭圆T:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=
4


3
,F2为椭圆的右焦点,M为椭圆T上任意一点,若△F1MF2面积的最大值为


2

(1)求椭圆T的方程;
(2)直线l绕着F1旋转,与圆O:x2+y2=5交于A、B两点,若|AB|∈(4,


19
)),求△F2PQ的面积S的取值范围.
答案
(1)由题意可将x=-c代入椭圆方程可得,
c2
a2
+
y2
b2
=1

∵c=


a2-b2

a2-b2
a2
+
y2
b2
=1
即y=±
b2
a

∴|PQ|=
2b2
a
=
4


3

由已知可得
1
2
b• 2c
=


2

①②联立可得a2=3,b2=2
∴椭圆的方程为
x2
3
+
y2
2
=1

(2)设直线L:x=my-1即x-my+1=0,圆心O到直线L的距离d=
1


1+m2

由圆的性质可知AB=2


r2-d2
=2


5-
1
1+m2

AB∈[4, 


19
 ]
,则4≤2


5-
1
1+m2


19

∴m2≤3
联立方程组





x=my-1
x2
3
+
y2
2
=1
消去x可得(2m2+3)y2-4my-4=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=
4m
3+2m2
y1y2=
-4
2m2+3

S=
1
2
|F1F2||y1-y2|
=


(y1+y2)2-4y1y2
=


(
4m
3+2m2
)
2
+
16
3+2m2


=


48(1+m2)
(2m2+3)2
=


48
4t+
1
t
+4
(令t=m2+1∈[1,4])
设f(t)=4t+
1
t
(t∈[1,4])
f(t)=4-
1
t2
>0
对一切t∈[1,4]恒成立
∴f(t)=4t+
1
t
在[1,4]上单调递增,4t+
1
t
∈[5,
65
4
]

S∈[
8


3
9
4


3
3
]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1.(a>b>0)
,其中短轴长和焦距相等,且过点M(2,


2
)

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P(x0,y0)在椭圆C的外部,过P做椭圆的两条切线PM、PN,其中M、N为切点,则MN的方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.已知点P在直线x+y-4=0上,试求椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
过点P(2,1)的直线与抛物线y2=16x交于A、B两点,且


PA
+


PB
=


0
则此直线的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,直线l:y=x+2


2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
题型:惠州模拟难度:| 查看答案
在正三棱锥ABC-A1B1C1中,已知M为底面△ABC内(含边界)一动点,且点M到三个侧面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1的距离成等差数列,则点M的轨迹是(  )
A.一条线段B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
过双曲线2x2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=4,则这样的直线有(  )
A.4条B.3条C.2条D.1条
题型:不详难度:| 查看答案
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